3 Корреляционный анализ сигналов

Смысл спектрального анализа сигналов заключается в изучении того, как сигнал может быть представлен в виде суммы (или интеграла) простых гармонических колебаний и как форма сигнала определяет структуру распределения по частотам амплитуд и фаз этих колебаний. В противоположность этому задачей корреляционного анализа сигналов является определение меры степени сходства и различия сигналов или сдвинутых по времени копий одного сигнала. Введение меры открывает пути к проведению количественных измерений степени схожести сигналов. Будет показано, что существует определенная взаимосвязь между спектральными и корреляционными характеристиками сигналов.

3.1 Автокорреляционная функция (АКФ)

Автокорреляционная функция сигнала с конечной энергией – это значение интеграла от произведения двух копий этого сигнала, сдвинутых относительно друг друга на время τ, рассматриваемое в функции этого временного сдвига τ:

Если сигнал определен на конечном интервале времени , то его АКФ находится как:

,

где - интервал перекрытия сдвинутых копий сигнала.

Считается, что чем больше значение автокорреляционной функции при данном значении , тем в большей степени две копии сигнала, сдвинутые на промежуток времени , похожи друг на друга. Поэтому корреляционная функция и является мерой сходства для сдвинутых копий сигнала.

Вводимая таким образом мера сходства для сигналов, имеющих форму случайных колебаний вокруг нулевого значения, обладает следующими характерными свойствами.

Если сдвинутые копии сигнала колеблются примерно в такт друг к другу, то это является признаком их схожести и АКФ принимает большие положительные значения (большая положительная корреляция). Если копии колеблются почти в противофазе, АКФ принимает большие отрицательные значения (антисходство копий сигнала, большая отрицательная корреляция).

Максимум АКФ достигается при совпадении копий, то есть при отсутствии сдвига. Нулевые значения АКФ достигаются при сдвигах, при которых не заметно ни сходства, ни антисходства копий сигнала (нулевая корреляция,

отсутствие корреляции).

На рис.3.1 изображен фрагмент реализации некоторого сигнала на интервале времени от 0 до 1 с. Сигнал случайным образом колеблется вокруг нулевого значения. Поскольку интервал существования сигнала конечен, то конечна и его энергия. Его АКФ можно вычислить в соответствии с уравнением:

.

Автокорреляционная функция сигнала, вычисленная в MathCad в соответствии с этим уравнением, представлена на рис. 3.2. Корреляционная функция показывает не только то, что сигнал похож сам на себя (сдвиг τ=0), но и то, что некоторой схожестью обладают и копии сигнала, сдвинутые друг относительно друга приблизительно на 0.063 с (боковой максимум автокорреляционной функции). В противоположность этому копии сигнала сдвинутые на 0.032 с, должны быть антипохожи дуг на друга, то есть быть в некотором смысле противоположными друг другу.

На рис.33 показаны пары этих двух копий. По рисунку можно проследить, что понимается под похожестью и антипохожестью копий сигнала.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. При τ = 0 автокорреляционная функция принимает наибольшее значение, равное энергии сигнала

2. Автокорреляционная функция является четной функцией временного сдвига .

3. С ростом τ автокорреляционная функция убывает до нуля

4. Если сигнал не содержит разрывов типа δ - функций, то - непрерывная функция.

5. Если сигнал является электрическим напряжением, то корреляционная функция имеет размерность .

Для периодических сигналов в определении автокорреляционной функции тот же самый интеграл делят еще на период повторения сигнала:

.

Так введенная корреляционная функция отличается следующими свойствами:

Значение корреляционной функции в нуле равно мощности сигнала ,

Размерность корреляционной функции равна квадрату размерности сигнала, например .

Для примера вычислим корреляционную функцию гармонического колебания :

Используя ряд тригонометрических преобразований, получим окончательно:

Таким образом, автокорреляционная функция гармонического колебания является косинусоидой с тем же периодом изменения, что и сам сигнал. При сдвигах, кратных периоду колебания, гармоника преобразуется в себя и АКФ принимает наибольшие значения, равные половине квадрата амплитуды. Сдвиги по времени, кратные половине периода колебания, равносильны смещению фазы на угол , при этом меняется знак колебаний, а АКФ принимает минимальное значение, отрицательное и равное половине квадрата амплитуды. Сдвиги, кратные четверти периода, переводят, например, синусоидальное колебание в косинусоидальное и наоборот. При этом АКФ обращается в нуль. Такие сигналы, находящиеся в квадратуре друг относительно друга, с точки зрения автокорреляционной функции оказываются совершенно не похожими друг на друга.

Важным является то, что в выражение для корреляционной функции сигнала не вошла его начальная фаза. Информация о фазе потерялась. Это означает, что по корреляционной функции сигнала нельзя восстановить сам сигнал. Отображение в противоположность отображению не является взаимно однозначным.

Если под механизмом генерирования сигналов понимать некоего демиурга, создающего сигнал по выбранной им корреляционной функции, то он смог бы создать целую совокупность сигналов (ансамбль сигналов), имеющих действительно одну и ту же корреляционную функцию, но отличающихся друг от друга фазовыми соотношениями.

Актом проявления сигналом своей свободной воли, независимой от воли создателя (возникновение отдельных реализаций некоторого случайного процесса),

Результатом постороннего насилия над сигналом (введение в сигнал измерительной информации, получаемой при проведении измерений какой либо физической величины).

Аналогичным образом обстоит дело с любым периодическим сигналом. Если периодический сигнал с основным периодом Т имеет амплитудный спектр и фазовый спектр , то корреляционная функция сигнала принимает следующий вид:

.

Уже в этих примерах проявляется некоторая связь между корреляционной функцией и спектральными свойствами сигнала. Подробнее об этих соотношениях речь пойдет в дальнейшем.

3.2 Взаимнокорреляционная функция (ВКФ).

В отличие от автокорреляционной функции взаимнокорреляционная функция определяет степень схожести копий двух различных сигналов x(t) и y(t), сдвинутых на время τ друг относительно друга:

Взаимнокорреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. При τ = 0 взаимнокорреляционная функция принимает значение, равное взаимной энергии сигналов, то есть энергии их взаимодействия

.

2. При любом τ имеет место соотношение:

,

где - энергии сигналов.

3. Изменение знака временного сдвига равносильно взаимной перестановке сигналов:

.

4. С ростом τ взаимнокорреляционная функция хотя и не монотонно, но убывает до нуля

5. Значение взаимнокорреляционной функции в нуле ничем не выделяется среди других значений.

Для периодических сигналов понятие взаимнокорреляционной функции, как правило, вообще не используется.

Приборы для измерения значений автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций называются коррелометрами или корреляторами. Коррелометры применяются, например, для решения следующих информационно-измерительных задач:

Статистический анализ электроэнцефалограмм и других результатов регистрации биопотенциалов,

Определение пространственных координат источника сигнала по величине временного сдвига, при котором достигается максимум ВКФ,

Выделение слабого сигнала на фоне сильных статических несвязанных помех,

Обнаружение и локализация каналов утечки информации путем определения корреляции между сигналами радиоэфира в помещении и за его пределами,

Автоматизированное обнаружение в ближней зоне, распознавание и поиск работающих радиоизлучающих подслушивающих устройств, включая мобильные телефоны, используемые как подслушивающие устройства,

Локализация мест утечек в трубопроводах на основании определения ВКФ двух сигналов акустического шума, вызываемого утечкой, в двух точках измерения, в которых расположены датчики на трубе.

3.3 Соотношения между корреляционными и спектральными функциями.

Как корреляционные, так и спектральные функции описывают внутреннюю структуру сигналов, их внутреннее строение. Поэтому можно ожидать, что между этими двумя способами описания сигналов существует некоторая взаимозависимость. Наличие такой связи Вы уже видели на примере периодических сигналов.

Взаимная корреляционная функция, как и любая другая функция времени, может быть подвергнута преобразованию Фурье:

Изменим порядок интегрирования:

Выражение в квадратных скобках можно было бы рассматривать как преобразование Фурье для сигнала y(t), но в показателе экспоненты не стоит знак минус. Это говорит о том, что внутренний интеграл дает нам выражение , комплексно сопряженное со спектральной функцией .

Но выражение не зависит от времени, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла. Тогда внешний интеграл просто даст нам определение спектральной функции сигнала x(t). Окончательно имеем:

Это означает, что преобразование Фурье для взаимной корреляционной функции двух сигналов равно произведению их спектральных функций, одна из которых подвергнута комплексному сопряжению. Это произведение называется взаимным спектром сигналов:

Из полученного выражения следует важный вывод: если спектры сигналов x(t) и y(t) не перекрывают друг друга, то есть располагаются в различных диапазонах частот, то такие сигналы являются некоррелированными, независимыми друг от друга.

Если положить в приведенных формулах: x(t) = y(t), то получим выражение для преобразования Фурье автокорреляционной функции

Это означает, что автокорреляционная функция сигнала и квадрат модуля его спектральной функции связаны друг с другом посредством преобразования Фурье.

Функция называется энергетическим спектром сигнала . Энергетический спектр показывает, как общая энергия сигнала распределяется по частотам его отдельных гармонических составляющих.

3.4 Энергетические характеристики сигналов с частотной области

Взаимная корреляционная функция двух сигналов связана преобразованием Фурье с взаимным спектром сигналов, поэтому ее можно выразить в виде обратного преобразования Фурье от взаимного спектра:

.

Теперь подставим в эту цепочку равенств значение временного сдвига . В результате получим соотношение, которое определяет смысл равенства Релея :

,

то есть интеграл от произведения двух сигналов равен интегралу от произведения спектров этих сигналов, один из которых подвергнут операции комплексного сопряжения.

.

Это соотношение называется равенством Парсеваля .

Периодические сигналы обладают бесконечной энергией, но конечной мощностью. При их рассмотрении мы уже сталкивались с возможностью вычисления мощности периодического сигнала через сумму квадратов модулей коэффициентов его комплексного спектра:

.

Это соотношение обладает полной аналогией с равенством Парсеваля.

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.1)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

B s (0) = s(t) 2 dt = E s .

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.4.1):

B s (t) = s(t) s(t-t) dt = s(t-t) s(t) dt = B s (-t).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. Знак +t в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t-t):

B s (t) = s(t) s(t-t) dt. (2.4.1")

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

B s (t) = .

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B s (t) = (1/Т) s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w 0 t+j 0) при T=2p/w 0 имеем:

B s (t) = A cos(w 0 t+j 0) A cos(w 0 (t-t)+j 0) = (A 2 /2) cos(w 0 t).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале , вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала :

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.4.2)

В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:

B s (t) = . (2.4.2")

Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.4.3)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

2.6. Корреляционно-спектральный анализ детерминированных сигналов. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть I

2.6. Корреляционно-спектральный анализ детерминированных сигналов

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время. В частности такая ситуация имеет место в радиолокации, где отраженный от цели импульс поступает на вход приемника с задержкой во времени. Сравнение этих сигналов между собой, т.е. установление их взаимосвязи, при обработке позволяет определять параметры движения цели.

Для количественной оценки взаимосвязи сигнала и его сдвинутой во времени копии вводится характеристика

Которая называется автокорреляционной функцией (АКФ).

Для пояснения физического смысла АКФ приведем пример, где в качестве сигнала выступает прямоугольный импульс длительностью и амплитудой. На рис. 2.9 изображены импульс, его копия, сдвинутая на интервал времени и произведение . Очевидно, интегрирование произведения дает значение площади импульса, являющегося произведением . Это значение при фиксированном можно изобразить точкой в координатах. При изменении мы получим график автокорреляционной функции.

Найдем аналитическое выражение. Так как

то подставляя это выражение в (2.57), получим

Если осуществлять сдвижку сигнала влево, то аналогичными вычислениями нетрудно показать, что

Тогда объединяя (2.58) и (2.59), получим

Из рассмотренного примера можно сделать следующие важные выводы, распространяющиеся на сигналы произвольной формы:

1. Автокорреляционная функция непериодического сигнала с ростом убывает (необязательно монотонно для других видов сигналов). Очевидно, при АКФ также стремиться к нулю.

2. Своего максимального значения АКФ достигает при. При этом, равна энергии сигнала. Таким образом, АКФ является энергетической характеристикой сигнала. Как и следовало ожидать при сигнал и его копия полностью коррелированны (взаимосвязаны).

3. Из сравнения (2.58) и (2.59) следует, что АКФ является четной функцией аргумента, т.е.

Важной характеристикой сигнала является интервал корреляции . Под интервалом корреляции понимают интервал времени, при сдвижке на который сигнал и его копия становятся некоррелированными.

Математически интервал корреляции определяется следующим выражением

или поскольку – четная функция

На рис. 2.10 изображена АКФ сигнала произвольной формы. Если построить прямоугольник, по площади равный площади под кривой при положительных значениях (правая ветвь кривой), одна сторона которого равна, то вторая сторона будет соответствовать.

Найдем интервал корреляции для прямоугольного импульса. Подставляя (2.58) в (2.60) после несложных преобразований, получим:

что и следует из рис. 2.9.

По аналогии с автокорреляционной функцией степень взаимосвязи двух сигналов и оценивается взаимной корреляционной функцией (ВКФ)

Найдем взаимную корреляционную функцию двух сигналов: прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью

и треугольного импульса той же амплитуды и длительности

Воспользовавшись (2.61) и вычисляя интегралы отдельно для и, получим:

Графические построения, иллюстрирующие вычисления ВКФ, приведены на рис. 2.11

Здесь пунктирными линиями показано исходное (при) положение треугольного импульса.

При выражение (2.61) преобразуется в (2.57). Отсюда следует, что АКФ является частным случаем ВКФ при полностью совпадающих сигналах.

Отметим основные свойства ВКФ.

1. Так же, как и автокорреляционная функция, ВКФ является убывающей функцией аргумента. При ВКФ стремиться к нулю.

2. Значения взаимной корреляционной функции при произвольных представляют собой значения взаимной энергии (энергии взаимодействия) сигналов и.

3. При взаимная корреляционная функция (в отличие от автокорреляционной) не всегда достигает максимума.

4. Если сигналы и описываются четными функциями времени, то ВКФ тоже четна. Если же хотя бы один из сигналов описывается нечетной функцией, то ВКФ так же нечетна. Первое утверждение легко доказать, если вычислить ВКФ двух прямоугольных импульсов противоположной полярности

Взаимная корреляционная функция таких сигналов

является четной функцией аргумента.

Что же касается второго утверждения рассмотренный пример вычисления ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов доказывает его.

В некоторых прикладных задачах радиотехники используют нормированную АКФ

и нормированную ВКФ

где и – собственные энергии сигналов и. При значение нормированной ВКФ называют коэффициентом взаимной корреляции . Если , то коэффициент взаимной корреляции

Очевидно, значения лежат в пределах от -1 до +1. Если сравнить (2.65) с (1.32), то можно убедиться, что коэффициент взаимной корреляции соответствует значению косинуса угла между векторами и при геометрическом представлении сигналов.

Рассчитаем коэффициент взаимной корреляции для рассмотренных выше примеров. Так как энергия сигнала прямоугольного импульса составляет

а треугольного импульса

то коэффициент взаимной корреляции в соответствии с (2.62) и (2.65) будет равен. Что же касается второго примера, то для двух прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды и длительности, но противоположной полярности, .

Экспериментально АКФ и ВКФ могут быть получены с помощью устройства, структурная схема которого изображена на рис. 2.12

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал, а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время. Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном. Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

где – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

где – круговая частота, – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента.

3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность.

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала.

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.25):

B s (t) =s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")

С учетом четности, графическое представление АКФ производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.25) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t, как правило, много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.25) функции s(t-t) вместо s(t+t).

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение стремятся к нулю.

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B s (t) =A 2 dt = A 2 (T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

B s (t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов также является периодической функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать t=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на t=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при t=3T/2 и повторением максимального значения при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копии º cos w o t сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 2.11).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале, вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Автокорреляция сигнала может оцениваться и функцией автокорреляционных коэффициентов, вычисление которых производится по формуле (по центрированным сигналам):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.25), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Рис. 2.12. Сигналы и ВКФ

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.12, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.27) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B 21 (-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B 21 (-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 (t), и наоборот. На рис. 2.13 это можно видеть наглядно.

Рис. 2.13. Сигналы и ВКФ

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.27) равносильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Функция коэффициентов взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Значение коэффициентов взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.

5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

6 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье. Равенство Парсеваля.

7 Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова. Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра.

8 Процесс интерполяции непрерывного сообщения. Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами.

13 Помехоустойчивое кодирование. Повышение верности в одностороннем и двустороннем каналах передачи

14 Блочные систематические коды, свойства и способы представления

15 Коды Хэмминга, свойства. Структурная схема кодера и декодера, принцип работы

16 Общие свойства и способы представления циклических кодов.

18 Аналоговые виды модуляции. Амплитудная модуляция. Амплитудно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики

19 Аналоговые виды модуляции. Амплитудный модулятор.

20 Аналоговые виды модуляции. Демодулятор ам-сигналов.

21. Аналоговые виды модуляции. Балансная модуляция. Балансно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики. Модулятор и демодулятор бмк.

22 Аналоговые виды модуляции. Однополосная модуляция. Методы формирования одной боковой полосы частот ам-колебания.

24 Спектры фазо-модулированных и частотно-модулированных колебаний.

25 Аналого-импульсные виды модуляции. Амплитудно-импульсная модуляция: аим-1 и аим-2. Модуляторы и демодуляторы аим сигналов.

26 Широтно-импульсная модуляция: шим-1 и шим-2. Спектральное представление шим-сигнала. Модуляторы шим-сигналов.

27 Фазо-импульсная модуляция. Модуляторы фим-сигналов.

28 Частотно-импульсная модуляция. Детекторы чим-сигналов.

29 Цифровые виды модуляции. Импульсно-кодовая модуляция. Дискретизация, квантование и кодирование.

30 Дифференциальная икм. Структурная схема системы передачи с предсказанием. Структурная схема линейного предсказателя, принцип работы. Адаптивная дифференциальная икм.

31 Дельта-модуляция. Принцип формирования сигнала дельта-модуляции. Адаптивная дельта-модуляция.

32 Дискретные виды модуляции. Способы двухпозиционной (однократной) модуляции. Позиционность сигнала, кратность модуляции.

33 Однократная абсолютная фазовая манипуляция. Фазовый манипулятор.

34 Детектор фмн-сигналов.

35 Манипулятор однократной относительной фазовой манипуляции.

36 Демодулятор сигналов с однократной офмн.

38 Принципы построения многоканальных систем передачи. Теоретические предпосылки разделения каналов. Частотное разделение каналов.

39 Фазовое разделение каналов. Модулятор и демодулятор сигналов дофмн.

40 Временное разделение каналов. Структурная схема многоканальной системы передачи с временным разделением каналов.

41 Оптимальный прием сигналов. Задачи и критерии оптимального приема.

42 Структурная схема приемника при полностью известных сигналах, принцип работы.

9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала

Наряду со спектральным анализом корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Его смысл состоит в измерении степени сходства (различия) сигналов. Для этого служит корреляционная ф-ция.

КФ представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг отн. друга на время.

Чем больше значение КФ, тем сильнее сходство. КФ обладает следующими свойствами:

1. Значение КФ при

равно энергии сигнала (интегралу от его квадрата)

2. Является четной функцией

3. Значение КФ при

4. С ростом абс. значения КФ сигнала с конечной энергией затухает

5. Если сигнал является ф-цией напряжения от времени, то размерность его КФ [

]

В случае периодического сигнала (с периодом Т) КФ вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода:

Набор свойств такой КФ изменяется:

1. Значение КФ при

равно средней мощности сигнала

2. Свойство четности сохраняется.

3. Значение КФ при

является максимально возможным.

4. КФ является периодической ф-цией (с тем же периодом, что и сигнал)

5. Если сигнал не содержит дельта-функций, то его КФ непрерывна.

6. Если сигнал является зависимостью U(t), то размерность КФ [

]

КФ гармонического сигнала является гармонической ф-цией, которая не зависит от начальной фазы сигнала.

10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)- функция, показывающая степень сходства для сдвинутых во времени 2-ух различных сигналов.

Общий вид:

Для примера вычислим ВКФ 2-ух функций:

При

При

При

Объединяя результаты, можно записать:

Свойства ВКФ:

1)

2)

3)

4) Если функции S 1 (t ) и S 2 (t ) не содержат дельта-функций, то их ВКФ не может иметь разрывов.

5) Если в качестве сигнала выступает функция U (t ) , то размерность ВКФ

11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов

Иногда на практике приходится иметь дело с явлениями, протекание которых во времени непредсказуемо и в каждый момент времени описывается случайной величиной. Такие явления называются случайными процессами. Случайным процессом называется функция ζ(t ) неслучайного аргумента t (как правило, времени), которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Например, температура в течение суток, регистрируемая самописцем. Значения, принимаемые процессом ζ(t ) в определенные моменты времени называются состояниями , а множество всех состояний – фазовым пространством случайного процесса. В зависимости от количества возможных состояний случайного процесса его фазовое пространство может быть дискретным или непрерывным. Если случайный процесс может изменять свое состояние лишь в определенные моменты времени, то такой процесс называется случайным процессом с дискретным временем ; а если в произвольные, то – процессом с непрерывным временем .

Случайный процесс ζ(t ) называется стационарным , если распределение вероятностей его возможных состояний не изменяется во времени. Например, при ежесекундном подбрасывании игральной кости распределение вероятностей состояний соответствующего случайного процесса (рис.44, б ) не зависит (не изменяется) от времени (при этом все состояния ζ(t ) равновозможны). В противоположность этому, случайный процесс, характеризующий температуру окружающей среды, не является стационарным, т.к. для лета характерны более высокие температуры, чем для зимы.

Распределение вероятностей состояний стационарного случайного процесса называется стационарным распределением .

Существуют различные законы распределения среди них Равномерное, Гаусовское (нормальное)

Равномерное : пусть некторая случ величина х может принимать значения х 1

P(x)=система(0 при x х 2)

Функцию распределения найдем путем интегрирования

F(x)= система(0 при x x 2)

Гауссово (нормальное) распределение . В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

Согласно равенству (13.5), корреляционная функция отклика нелинейного устройства может быть следующим образом выражена через переходную функцию этого устройства:

Двойной интеграл по равен, как это видно из сравнения с равенством (4.25), совместной характеристической функции величин записанной в виде функции комплексных переменных. Следовательно,

Выражение (13.40) является основной формулой при анализе случайных воздействий на нелинейные устройства методом преобразований. Оставшаяся часть этой главы посвящена вычислению этого выражения для различных типов устройств и различных видов воздействий на них.

Во многих задачах воздействие, подаваемое на вход системы, представляет собой сумму полезного сигнала и шума:

где - выборочные функции статистически независимых вероятностных процессов. В таких случаях совместная характеристическая функция воздействия равна произведению характеристических функций сигнала и шума и равенство (13.40) принимает

где - совместная характеристическая функция величин - совместная характеристическая функция величин и

Гауссовский шум на входе. Если шум на входе устройства является выборочной функцией действительного гауссовского вероятностного процесса с нулевым математическим ожиданием, то, согласно равенству (8.23),

где Корреляционная функция отклика в таком случае принимает вид

Если теперь могут быть представлены в виде произведений функции от на функцию от или в виде сумм таких произведений, то двойной интеграл в последнем выражении может быть вычислен как произведение интегралов. Тот факт, что экспоненциальная функция может быть представлена через произведения функций от и вытекает из разложения ее в степенной ряд

Поэтому корреляционная функция отклика нелинейного устройства при подале на вход его гауссовского шума может быть записана

Синусоидальные сигналы.

Предположим теперь, что сигнал на входе устройства представляет собой модулированную синусоиду, т. е. что

где - выборочная функция низкочастотного вероятностного процесса (т. е. такого, у которого спектральная плотность отлична от нуля лишь в диапазоне частот, примыкающем к нулевой частоте и узком по сравнению с и где случайная величина распределена равномерно в интервале и не зависит от модулирующего сигнала и от шума. Характеристическая функция такого сигнала равна

Разлагая экспоненту формуле Якоби-Энгера [выражение (13.20)], получаем

Поскольку

где мы получаем, что для амплитудно-модулированного синусоидального сигнала

Корреляционную функцию отклика нелинейного устройства при подаче на вход его синусоидального сигнала и гауссовского шума можно теперь найти, подставляя (13.47) в (13.45). Определим функцию

где и корреляционную функцию

где осреднение производится по модулирующему сигналу; тогда корреляционная функция отклика будет равна

Если как модулирующий сигнал, так и шум стационарны, то выражение (13.50) принимает вид

Если входной сигнал представляет собой немодулированную синусоиду

ибо в этом случае коэффициенты постоянны и равны друг другу.

Составляющие сигнала и шума на выходе.

Рассмотрим сейчас случай, когда шум на входе имеет форму смодулированной синусоиды. В этом случае корреляционная функция на выходе задается выражением (13.52). Разложим это выражение следующим образом:

рассмотрим отдельные его слагаемые. Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей на выходе устройства. Следующая группа слагаемых отвечает периодической части отклика и обусловлена в основном взаимодействием входного сигнала с самим собой. Остальные слагаемые соответствуют случайным колебаниям отклика, т. е. шуму на выходе. Те из

этих оставшихся слагаемых, для которых обусловлены главным образом взаимодействием входного шума с самим собой, а те из них, для которых взаимодействием сигнала и шума на входе.

Представим отклик нелинейного устройства в виде суммы среднего значения, периодических составляющих и случайной составляющей:

Тогда корреляционная функция отклика может быть записана в виде

где Сравнивая равенства (13.53) и (13.55), мы видим, что среднее значение отклика и амплитуды его периодических составляющих могут быть выражены непосредственно через коэффициенты

Кроме того, корреляционною функцию случайной части отклика можно записать в виде

где мы положим по определению в соответствии с (13.50)

Следует отметить, что, строго говоря, все эти слагаемые являются функциями процесса, модулирующего входной сигнал.

Решение вопроса о том, какие из -слагаемых в (13.62) определяют полезный выходной сигнал, зависит, конечно, от назначения нелинейного устройства. Если, например, устройство используется как детектор, то полезной является низкочастотная часть выходного сигнала. В этом случае полезному сигналу соответствует часть корреляционной функции, определяемая равенством

С другой стороны, если устройство используется как нелинейный усилитель, то

ибо в этом случае полезной является составляющая сигнала, сосредоточенная около несущей частоты входного сигнала

Литература: [Л.1], с 77-83

[Л.2], с 22-26

[Л.3], с 39-43

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал, а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время. Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном. Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

, (2.66)

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

, (2.67)

где – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

,

где – круговая частота, – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

.

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента.

3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность.

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала.

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

и.

Воспользовавшись (2.67) и проводя несложные вычисления, получим

,

где – разность начальных фаз сигналов и.

Таким образом, взаимная корреляционная функция двух рассматриваемых сигналов содержит информацию о разности начальных фаз. Это важное свойство широко используется при построении различных радиотехнических устройств, в частности, устройств синхронизации некоторых систем радиоавтоматики и других.

Так как и – вещественные и четные функции, выражения (2.69) и (2.70) можно записать соответственно в виде

, (2.71)

. (2.72)

Рассмотренный корреляционно-спектральный анализ позволяет дать еще одну трактовку эффективной ширины спектра. Если известен энергетический спектр, то эффективная ширина спектра определяется так:

. (2.73)

Иными словами представляет собой сторону прямоугольника по площади равного площади под кривой одностороннего спектра, вторая сторона которого равна (рис.2.13). Очевидно, произведение эффективной ширины энергетического спектра на величину интервала корреляции есть величина постоянная

.

Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с проявлением принципа неопределенности: чем больше интервал корреляции, тем меньше ширина энергетического спектра, и наоборот.

Контрольные вопросы к главе 2

1. Что такое система базисных тригонометрических функций?

2. Как можно записать тригонометрический ряд Фурье?

3. Дайте определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала.

4. Какой характер носит спектр последовательности прямоугольных импульсов?

5. Чем отличается спектр одиночного импульса от спектра периодической последовательности импульсов?

6. Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.

7. Как найти эффективную длительность и эффективную ширину спектра прямоугольного сигнала?

8. Что представляет собой спектр сигнала в виде дельта-функции?

9. Дайте определение автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

10. Что такое взаимная корреляционная функция двух сигналов?

11. Как найти коэффициент взаимной корреляции?

12. Какими свойствами обладает автокорреляционная функция периодического сигнала?

Понятие корреляция означает схожесть. Корреляционная функция сигнала является функцией и определяется выражением

где τ – временной сдвиг сигнала.

При выражение (2.65) принимает вид

где Е - энергия сигнала. Таким образом, при нулевом временном сдвиге корреляционная функция равна энергии сигнала.

Кроме корреляционной функции (2.65) существует взаимно корреляционная функция, которая характеризует взаимную связь между значениями двух сигналов и определяется выражением:

Когда U1(t) и U2(t) являются одним и тем же сигналом U(t), то взаимно корреляционная и корреляционная функция совпадают.

Корреляционная функция принимает максимальное значение только при . Взаимно корреляционная функция двух одинаковых сигналов также достигает максимума при . Для различных сигналов U1(t) и U2(t) максимальное значение функции может достигать не при . Например, взаимно корреляционная функция косинусоиды имеет максимальное значение при .

Рассмотрим корреляционные функции типовых сигналов.

Прямоугольный видеосигнал и его корреляционная функция показаны на рис. 2.24.

Корреляционная функция периодического видеосигнала с периодом Т на основании (2.66) имеет вид:

(2.67)

Корреляционная функция гармонического сигнала равна:

Сигнал и его корреляционная функция показаны на рис 2.25.

Рис. 2.25. Гармонический сигнал (а) и его корреляционная функция (б).

Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов одинаковой частоты и имеет вид:

(2.69)

Если и , то взаимно корреляционная функция (2.68) равна корреляционной функции гармонического сигнала (2.69).

Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов с различными частотами равна нулю. Следовательно, гармонические сигналы с различными частотами являются некоррелированными (не схожими) между собой.