Разложение сигналов по функциям уолша. Преобразование уолша и его применение для обработки сигналов. Общая характеристика и принципы функционирования
Из (2.48) получим
(2.49)
С учетом того, что функции Уолша равны ±1, выражение (2.49) запишем в виде
(2.50)
где а п (к) = 0 или 1, определяет знак функции Уолша на интервале 
Примеры спектров Уолша.
1. Спектр Уолша прямоугольного импульса s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)
Из (2.50) находим
Спектр Уолша прямоугольного импульса зависит от соотношения между т и Т. При τ/T = 2 v где v - целое положительное число, с учетом значений функций Уолша получим
Разложение прямоугольного импульса по функциям Уолша имеет вид
Спектр состоит из 2 V составляющих с одинаковыми амплитудами, равными 1/2 V . Спектр содержит конечное число составляющих. При т/Т≠ 2 V структура спектра изменится.
2. Спектр Уолша треугольного импульса (рис. 2.10) При описании треугольного импульса
удобно перейти к безразмерному времени х= t/T
В соответствии с (2.50) находим:
Спектры Уолша при нумерации Хармута и Пэли изображены на рис.2.10, б и в.
3. Спектр Уолша синусоидального импульса (рис. 2.11)
Для синусоидального импульса
переходя к безразмерному времени x = t/T, запишем 
Из (2.50) в системе Хармута находим (рис. 2.11):
Спектры Уолша рассматриваемого сигнала при нумерации Хармута и Пэли приведены на рис.2.11,6 и в.
2.7А. Свойства спектров Уолша
При анализе сигналов с использованием функций Уолша полезно учитывать свойства разложения сигналов в базисе Уолша - спектров Уолша.
1. Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждого из сигналов.
Спектр сигнала в системе функций Уолша определяется коэффициентами разложения (2.47). Для суммы сигналов коэффициенты разложения определяются выражением
(2.52)
где а пк - коэффициенты разложения сигнала s k (t).
2. Умножение сигнала на функцию Уолша с номером n изменяет номера коэффициентов разложения с k по закону двоичного сдвига по модулю два
3. Спектр Уолша произведения сигналов s 1 (t) и s 2 (t). определенных на интервале . Такие функции описывают периодические сигналы с ограниченной мощностью.
Для четной функции s(t), как это следует из (3.2),
(3.3)
для нечетной функции s(t):
(3.4)
Обычно при анализе сигналов используется разложение s(t) в виде
(3.5)
Периодический сигнал представляется в виде суммы гармонических составляющих с амплитудами А n и начальными фазами.
Совокупность амплитуд {Д,} определяет амплитудный спектр, а совокупность начальных фаз {φ n } - фазовый спектр сигнала (рис.3.1,а). Как следует из (3.5), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте равен частоте сигнала ω 1 = 2π/ Т.
Тригонометрический ряд Фурье можно записать в комплексной форме
(3.7)
(3.8)
Переход от (3.1) к (3.7) очевиден с учетом формулы Эйлера
(3.9)
Коэффициенты с n в общем случае являются комплексными величинами
При использовании комплексной формы ряда Фурье сигнал определяется совокупностью комплексных амплитуд {с n }. Модули комплексных амплитуд |с n | описывают амплитудный спектр, аргументы φ n - фазовый спектр сигнала (рис. 3.1,6).
Представив (3.8) в виде
(3.11)
Как следует из записанных выражений, амплитудный спектр обладает четной, а фазовый - нечетной симметрией
(3.13)
Из сопоставления выражений (3.2) и (3.11) следует
В качестве примера рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 3.2,а). При разложении периодической последовательности прямоугольных импульсов в тригонометрический ряд Фурье из (3.2) получим амплитудный и фазовый спектры в виде (рис.3.2,б):
При использовании комплексной формы ряда Фурье 
из (3.8) следует:
Амплитудный и фазовый спектры сигнала равны
Предельным видом ряда Фурье является интеграл Фурье. Периодический сигнал при Т → ∞ становится непериодическим. Подставив (3.8) в (3.7), запишем
(3.16)
Гармонический анализ сигналов
Преобразуя (3.16), при T→∞ (в этом случае ω 1 → dω и пω 1 = ω), получаем
(3.17)
В квадратных скобках записан интеграл Фурье, он описывает спектральную плотность сигнала
Выражение (3.17) примет вид
Записанные соотношения представляют прямое и обратное преобразования Фурье. Они используются при гармоническом анализе непериодических сигналов.
3.2. Гармонический анализ непериодических сигналов
Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие между сигналом (временной функцией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью S(ω):
(3.18)
Соответствие по Фурье обозначим:
(3.19)
Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функции s(t)
(3.20)
В практических приложениях более удобным является условие интегрируемости квадрата этой функции
(3.21)
Для реальных сигналов условие (3.21) эквивалентно условию (3.20), но имеет более очевидный физический смысл: условие (3.21) означает ограниченную энергию сигнала. Таким образом, можем считать возможным применение преобразования Фурье к сигналам с ограниченной энергией. Это непериодические (импульсные) сигналы. Для периодических сигналов разложение на гармо
нические составляющие производится с помощью ряда Фурье.
Функция S(ω) в общем случае является комплексной
где Re, lm - действительная и мнимая части комплексной величины; |s(w)|, ф(оо)- модуль и аргумент комплексной величины:
Модуль спектральной плотности сигнала |S(ω)| описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент φ(ω) дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала. Амплитудный спектр является четной функцией, а фазовый спектр - нечетной функцией частоты
С учетом формулы Эйлера (3.9) выражение для S(ω) запишем в виде
(3.24)
Если s(t)четная функция, то из (3.24) получим
(3.25)
Функция S(ω), как следует из (3.25), является действительной функцией. Фазовый спектр определяется как
(3.26)
Для нечетной функции s(t) из (3.24) получим
(3.27)
Функция S(ω) является чисто мнимой, фазовый спектр
(3.28)
Любой сигнал можно представить как сумму четной s ч (t) и нечетной s H (t) составляющих
(3.29)
Возможность такого представления становится ясной с учетом следующих равенств:
Из (3.24) и (3.29) получим
(3.30)
Следовательно, для действительной и мнимой частей спектральной плотности сигнала можно записать:
Таким образом, действительная часть спектральной плотности представляет преобразование Фурье от четной составляющей, мнимая часть - от нечетной составляющей сигнала. Действительная часть комплексной спектральной плотности сигнала является четной, а мнимая часть - нечетной функцией частоты.
Спектральная плотность сигнала при ω = 0
(3.31)
равна площади под кривой s(t).
В качестве примеров получим спектры некоторых сигналов.
1. Прямоугольный импульс (рис. 3.3,а)
где τ и - длительность импульса.
Спектральная плотность сигнала
Графики амплитудного и фазового спектров сигнала приведены на рис. 3.3,б,в.
2. Сигнал, описываемый функцией
Спектральная плотность сигнала определяется выражением 
Интегрируя по частям n-1 раз, получаем
Сигнал (рис. 3.4,а)
имеет спектральную плотность
Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рис. 3.4,б,в.
Сигнал (рис. 3.5,а)
имеет спектральную плотность
Графики амплитудного и фазового спектров - рис. 3.5,б,в.
Число примеров увеличивает табл. 3.1.
Сравнение (3.18) и (3.8) показывает, что спектральная плотность одиночного импульса при τ< С учетом указанного соотношения определение спектра периодического сигнала в ряде случаев можно упростить, используя преобразование Фурье (3.18). Коэффициенты ряда Фурье находятся как где S(ω) - спектральная плотность одного импульса. Таким образом, при определении амплитудного и фазового спектров периодических сигналов полезно иметь в виду следующие равенства: Коэффициент 1/T может рассматриваться как интервал частот между соседними составляющими спектра, а спектральная плотность как отношение амплитуды составляющей сигнала к интервалу частот, которому соответствует амплитуда. С учетом этого становится более понятным термин «спектральная плотность». Непрерывные амплитудный и фазовый спектры одиночного импульса являются огибающими дискретных амплитудного и фазового спектров периодической последовательности таких импульсов. С помощью соотношений (3.33) результаты, приведенные в табл. 3.1, можно использовать для определения спектров периодических последовательностей импульсов. Такой подход иллюстрируют следующие примеры. 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (табл. 3.1, п. 1), рис. 3.2. Записанное выражение повторяет результат примера п.3.1. 2. Периодическая последовательность меандровых импульсов (табл. 3.1, п.2), рис. 3.6, рис. 3.2. 3. Периодическая последовательность экспоненциальных импульсов (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7. Таблица 3.1 Сигналы и их спектры 3.3. Частотные спектры сигналов, представленных в виде обобщенного ряда Фурье При представлении сигнала в виде обобщенного ряда Фурье полезно иметь преобразование Фурье базисных функций. Это позволит от спектра в базисе различных ортогональных систем перейти к частотному спектру. Ниже приведены примеры частотных спектров некоторых видов сигналов, описываемых базисными функциями ортогональных систем. 1 .Сигналы Лежандра. Преобразование Фурье многочлена Лежандра (разд. 2) имеет вид п= 1,2, ... - многочлен Лежандра; Используя (3.34), от сигнала, представленного в виде ряда с коэффициентами Выражение (3.35) описывает спектральную плотность сигнала s(f) в виде ряда. Графики составляющих спектра с номерами 1 - 3 приведены на рис.3.8. 2. Сигналы Лагерра. Преобразование Фурье функции Лагерра имеет вид п= 1,2,...- функции Лагерра. Используя (3.36), от сигнала, представленного в виде ряда разложения по многочленам Лагерра (разд. 2) с коэффициентами можно перейти к спектральной плотности сигнала 3. Сигналы Эрмита. Преобразование Фурье функции Эрмита имеет вид Из (3.38) следует, что функции Эрмита обладают свойством трансформируемости, т.е. функции и их преобразования Фурье равны (с точностью до постоянных коэффициентов). Используя (3.38), от сигнала, представленного в виде ряда разложения по многочленам Эрмита с коэффициентами можно перейти к спектральной плотности сигнала 4. Сигналы Уолша. Частотные спектры сигналов Уолша (сигналов, описываемых функциями Уолша) определяются следующим преобразованием Фурье: где wal(n,x) - функция Уолша. Так как функции Уолша имеют N участков постоянных значений, где х к - значение х на к-ом интервале. Из (3.41) получим где Так как функции Уолша принимают значения ±1, то (3.42) можем записать в виде где а n (к) = 0 или 1 определяет знак функции wal(n,x k). На рис. 3.9 приведены графики амплитудных спектров первых шести сигналов Уолша. 3.4. Спектры сигналов, описываемых неинтегрируемыми функциями Преобразование Фурье существует только для сигналов с конечной энергией (для которых выполняется условие (3.21)). Расширить класс сигналов, анализируемых с использованием преобразования Фурье, позволяет чисто формальный прием, основанный на введении понятия спектральной плотности для импульсной функции. Рассмотрим некоторые из таких сигналов. 1. Импульсная функция. Импульсная функция (или δ - функция) определяется как Из определения импульсной функции следует ее фильтрующее свойство Спектральную плотность импульсной функции определим как Амплитудный спектр равен единице, фазовый спектр φ(ω) = ωt 0 (рис. 3.10). Обратное преобразование Фурье дает По аналогии с (3.47) для частотной области запишем Используя полученные выражения, определим спектральные плотности некоторых видов сигналов, описываемых функциями, для которых не существует преобразования Фурье. 2. Постоянный сигнал s(t) = s 0 . С учетом (3.48) получим (рис. 3.11) 3. Гармонический сигнал. Спектральная плотность сигнала получится с учетом (3.48) в виде При φ = 0 (рис. 3.12) Для сигнала по аналогии с (3.52) найдем 4. Единичная ступенчатая функция. Единичную ступенчатую функцию σ(t) будем рассматривать как предельный вид экспоненциального импульса Экспоненциальный импульс представим в виде суммы четной и нечетной составляющих (3.29) Изобретение относится к области обработки информации и может быть использовано в анализаторах речевых сигналов. Техническим результатом является обеспечение совместного частотно-временного анализа. Анализатор содержит генератор тактовых импульсов, генератор функций Уолша, реверсивный счетчик, регистр, элемент И, делитель частоты и последовательно соединенные сдвиговый регистр и кольцевой сдвиговый регистр. 1 ил. Изобретение относится к области приборостроения и может быть использовано для вычисления коэффициентов дискретного ортогонального преобразования Уолша над аналоговыми сигналами в различных устройствах автоматики, например, в анализаторах речевых сигналов, устройствах обработки изображений и т. п. Устройства для вычисления коэффициентов преобразования Уолша известны. Известные устройства осуществляют спектральное преобразование дискретных сигналов, заданных на конечных интервалах определения в базисе ортогональных функций Уолша-Адамара . Наиболее жесткие требования к устройствам для вычисления коэффициентов преобразования Уолша прежде всего по быстродействию предъявляются в случае их применения для совместного частотно-временного анализа радиосигналов . На практике более широко применяются цифровые анализаторы спектра по функциям Уолша . Они наиболее универсальны и способны обеспечить лучшую точность представления данных. Входной сигнал в таких устройствах должен быть задан на конечном интервале определения и дискретизован как по амплитуде, так и по времени. Отношение базы разложения, то есть интервала задания сигнала к шагу дискретизации, даст число N вычисляемых коэффициентов преобразования Уолша. Общим недостатком универсальных цифровых анализаторов спектра Уолша является их относительно низкое быстродействие. Значительно повысить быстродействие удается путем применения специализированных устройств, ориентированных на выполнение одной или нескольких родственных задач. В частном случае, когда аналоговые сигналы имеют вид однополярных телеграфных или фототелеграфных сигналов функции аналого-цифрового преобразователя и анализатора спектра, можно совместить и создать достаточно простой анализатор спектра , который обеспечивает высокую точность преобразования данных при высоком быстродействии, определяемом применяемой элементной базой. Наиболее близким по технической сущности к заявляемому устройству является анализатор спектра по функциям Уолша , который можно выбрать в качестве прототипа. Прототип содержит генератор функций Уолша, каждый из выходов которого подключен к входу управления соответствующего реверсивного счетчика. Общее число реверсивных счетчиков может быть произвольным и определяется характером решаемой устройством задачи. В общем случае число реверсивных счетчиков равно числу N базисной системы ортогональных функций Уолша, определяемому как целая степень числа два N=2 n . Выход каждого реверсивного счетчика соединен с входом соответствующего регистра, осуществляющего хранение рассчитанных данных. Информационный вход каждого реверсивного счетчика подключен к выходу элемента И, первый вход которого служит входом устройства, а второй присоединен параллельно с синхронизирующим входом генератора функций Уолша к выходу генератора тактовых импульсов. В зависимости от знака i-й функции Уолша, действующей на i-м выходе генератора функций Уолша, i-й реверсивный счетчик пересчитает число импульсов с выхода элемента И в накапливающем или вычитающем режиме. Сигнал на выходе элемента И действует только в случае наличия входного сигнала. Поэтому каждый реверсивный счетчик за время генерирования полной системы ортогональных функций подсчитает в заданном коде число импульсов, пропорциональное соответствующему коэффициенту преобразования Уолша. Недостаток известного устройства состоит в невозможности осуществления с его помощью совместного частотно-временного анализа, когда необходимо для каждого дискретного отсчета времени определять все текущие коэффициенты преобразования Уолша. Зависимость этих коэффициентов от времени получила название "скользящего спектра" . Цель настоящего изобретения состоит в обеспечении возможности одновременного вычисления всех коэффициентов преобразования Уолша для каждого дискретного отсчета времени и обеспечении тем самым возможности проведения совместного частотно-временного анализа сигналов. Поставленная цель достигается тем, что в известное устройство дополнительно введены делитель частоты и соединенные между собой сдвиговый регистр, кольцевой сдвиговый регистр, а также делитель. Выход кольцевого сдвигового регистра соединен с входами реверсивных счетчиков, при этом его входы соединены с выходами генератора функций Уолша и сдвигового регистра, который, в свою очередь, соединен с генератором тактовых импульсов через делитель и с выходом элемента И непосредственно. Выход делителя также соединен с входами реверсивных счетчиков. Сдвиговый регистр накапливает пачки по N импульсов и под действием импульса с делителя частоты подает такую пачку на кольцевой сдвиговый регистр, с которого импульсы под действием импульса с генератора функций Уолша поступают на соответствующие реверсивные счетчики. Частота следования импульсов в пачке соответствует частоте тактовых импульсов, которые больше частоты смены значений функций Уолша в число раз, равное значению делителя частоты. Структурная схема предлагаемого устройства представлена на чертеже. Устройство содержит последовательно соединенные генератор тактовых импульсов 1, делитель частоты 2, элемент И 3, генератор функций Уолша 4, сдвиговый регистр 5, кольцевой сдвиговый регистр 6, N реверсивных счетчиков 7 и N регистров 8. Входом устройства служит элемент И 3, второй вход которого соединен с генератором тактовых импульсов 1 через делитель частоты 2. Выход делителя частоты соединен также с управляющим входом сдвигового регистра 5, с обнуляющим входом каждого i-го реверсивного счетчика 7 и с управляющим входом регистров хранения 8. Каждый реверсивный счетчик 7 предназначен для подсчета числа импульсов. При этом каждый реверсивный счетчик считает на накопление или вычитание в соответствии со знаком сигнала, поступающего на его вход управления реверсом. Выход каждого i-го реверсивного счетчика 7 соединен с информационным входом соответствующего i-го регистра 8. Генератор функций Уолша 4 предназначен для генерирования полной системы ортогональных функций Уолша размера N, причем каждой генерируемой функции соответствует отдельный выход генератора функций Уолша 4, соединенный с входом управления реверса каждого i-го реверсивного счетчика 7. Генератор тактовых импульсов 1 предназначен для генерирования синхронизирующих импульсов. Его выход соединен с входом делителя частоты 2, с управляющим входом генератора функций Уолша 4 и управляющим входом кольцевого сдвигового регистра 6. Информационный вход кольцевого сдвигового регистра 6 соединен с выходом сдвигового регистра 5, а его выход подключен к информационному входу каждого реверсивного счетчика 7. Делитель частоты 2 предназначен для деления частоты импульсной последовательности в N раз. Работает устройство следующим образом. Генератор тактовых импульсов 1 непрерывно генерирует последовательность импульсов с некоторой частотой f n . Эта импульсная последовательность поступает одновременно на вход делителя частоты 2, кольцевой сдвиговый регистр 6 и генератор функций Уолша 4. Коэффициент деления частоты блока 2 выбран равным N, причем N >> 1. Импульсная последовательность с выхода делителя частоты 2 с частотой f д =f n /N поступает на обнуляющий вход каждого реверсивного счетчика 7 и на первый вход элемента И 3, управляющий вход сдвигового регистра 5 и управляющий вход регистра 8. Входом устройства является второй вход элемента И 3, с выхода которого входной сигнал под действием управляющего импульса с делителя частоты 2 поступает на информационный вход сдвигового регистра 5, где формируются пачки импульсов, которые затем поступают на информационные входы кольцевого сдвигового регистра 6. Кольцевой сдвиговый регистр последовательно подает импульсы на реверсивные счетчики 7 под действием управляющего импульса с выхода генератора тактовых импульсов 1. Одновременно на вход управления реверсом реверсивного счетчика с номером i поступает напряжение с i-го выхода генератора функций Уолша 4. Если на входе i-го реверсивного счетчика 7 действует напряжение логической "1", то счетчик работает на накопление, то есть ведет суммирование числа импульсов, поступающих на счетный вход. Если на входе управления реверсом действует логический "0", то счетчик 7 работает на вычитание, то есть ведет вычитание числа импульсов, поступающих на счетный вход. За время генерирования полной системы функций Уолша в каждом i-м реверсивном счетчике 7 будет накоплено в заданном коде число импульсов, пропорциональное i-й компоненте спектра Уолша. В момент окончания генерирования системы функций Уолша генератор вырабатывает на своем синхронизирующем входе импульс, который переписывает показания каждого реверсивного счетчика 7 в соответствующий регистр 8. Таким образом, в каждом i-м регистре 8 будет храниться цифровой код, пропорциональный i-й компоненте спектра Уолша входного аналогового сигнала, зафиксированного на данный момент времени в сдвиговом регистре 5. Одновременно со сбросом информации из реверсивных счетчиков 7 в регистр 8 происходит считывание через элемент И 3 очередного значения входного сигнала. Цикл расчета полной системы коэффициентов преобразования Уолша над значениями сигнала, хранящихся в сдвиговом регистре, повторяется. Таким образом, периодически, с частотой f д в регистры 8 будут сбрасываться значения "скользящего" спектра входного сигнала, вычисленные в базисе полной системы ортогональных функций Уолша. Литература 1. Х. Хартмут. Теория секвентного анализа. - М.: Мир, 1980. 2. А.А. Алексеев, А.Б. Кирилов. Технический анализ сигналов и распознавание радиоизлучений. - С.-Пб.: Военная академия связи, 1998. Раздел 4. Элементы теории обобщенного спектрально-временного анализа, 4.3.2. Распределение Вигнера-Уолша, стр. 164-209. 3. Анализатор спектра по функциям Уолша. А.С. N 640305, G 06 F 15/34, 1976. 4. Виноградов Д.Г., Шабаков Е.И. Анализатор спектра по функциям Уолша. А.С. СССР N 1203536, G 06 F 15/332, 1985.
Спектр сигнала можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента
1
/
2
π
{\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}
) в виде: S
(ω)
=
∫
−
∞
+
∞
s
(t)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle S(\omega)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt}
, где
ω
{\displaystyle \omega }
- угловая частота равная
2
π
f
{\displaystyle 2\pi f}
. Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде:
S
(ω)
=
A
(ω)
e
−
i
ϕ
(ω)
{\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^{-i\phi (\omega)}}
, где
A
(ω)
{\displaystyle A(\omega)}
- амплитудный спектр сигнала,
ϕ
(ω)
{\displaystyle \phi (\omega)}
- фазовый спектр сигнала. Если под сигналом
s
(t)
{\displaystyle s(t)}
понимать В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S
(T
) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов : Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи. Рис.2.3.
К определению сигнала на выходе линейной цепи.
Сигнал на выходе линейной цепи равен Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен: Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными. Набор функций называется ортогональным,
Если в интервале от до И ортонормированным,
Если для всех Выполняется условие Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи. Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию где: — период сигнала; =1,2,3,…. Рис. 2.4.
Периодический сигнал Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом: Этот ряд называется рядом Фурье. Возможна запись ряда Фурье в другом виде: Где: — круговая частота; Отдельные слагаемые рядов называют гармониками.
Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз. Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.
Рис 2.5.
Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала Таким образом, спектр периодического сигнала –
Линейчатый.
Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры. Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра. Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие. Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье: После подстановки значений и , получим: Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра. 2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей. Рис.2.6
.Периодические последовательности импульсов и их спектры. 2.2.2. Спектр непериодического сигнала
При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности. Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра: Введем обозначение: Построим модуль спектра : Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8. Рис. 2.8.
Спектр непериодического сигнала При этом комплексная амплитуда равна: С учетом предельного перехода при Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде: Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса. Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье. – комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз. Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала. Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал. 2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса
Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е
, а длительность — t, представленного на рис. 2.9. Рис. 2.9.
Одиночный прямоугольный импульс В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K
=1,2,3… На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью . Рис.2.10.
Спектр одиночного прямоугольного импульса Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом». Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов. Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения. В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара. Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS. Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье. Преобразование Уолша-Адамара Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша. Обобщённый ряд Фурье представляется формулой: где это одна из базисных функций, а - коэффициент. Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид: В дискретной форме формула запишется следующим образом: Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша: Следует учитывать периодический характер функций Уолша. 9. Интерполяция: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры.
Интерполяция – процесс цифр. обработки сигналов, приводящий к формированию сигнала y(nT) с повышенной частотой дискретизации из сигнала x(vT’)=x(vLT) с более низкой частотой дискретизации при определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исх.сигнала. Выделяют три разновидности процесса интерполяции ЦОС: 1. Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции; 2. При увеличении част.дискр. исходные отсчеты дискретного сигнала x(vT’) оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигала y(nT) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала x(t), из которого путем дискретизации с интервалом T’ образован исходный дискретный сигнал x(vT’). В этом случае форма огибающей сигналов x(vT’) и y(nT) (и спектр) не изменяются; 3. Увеличение част.дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не меняется. Д-дискретизатор c интервалом дискретизации T’=LT., ИИ-идеальный интерполятор увеличивает част.дискр. в целое число L.После ИИ сигнал можно рассматривать, как результат дискретизации исх.аналогового сигнала x(t) с интервалом дискретизации T=T’/L. , Hφ-дискретная система с частотной хар-кой . Частотная интерполяция процесса с целым коэффициентом L: а)спектр исходного аналогового сигнала. б)спектр дискретизированного сигнала с часотой дискретизаии fд. в)спектр дискретизированного сигнала с частотой дискретизации fд’=3fд. Т.О. процесс повышение частоты дискретизации (интерполяции) – преобразование спектра от б) к в), то есть подавление «лишних» частотных составляющих исх.спектра. Увеличение частоты дискретизации исх.сигнала в нужное число раз L осуществляет экспандер частоты дискретизации (ЭЧД). Использование полифазной структуры при интерполяции с использованием КИХ-фильтров.
Особенность данной структуры в том, что вместо одного фильтра, работающего на высокой частоте дискретизации, используется несколько фильтров, работающих на низкой частоте. Полифазный фильтр представляет собой набор небольших фильтров, работающих параллельно, каждый из которых обрабатывает только подмножество отсчётов сигнала (если всего имеется N фильтров, каждый фильтр будет обрабатывать только каждый N-й отсчёт). Эквивалентная схема полифазной структуры: Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка.
Нулевой порядок. При вычислении очередного отсчета вых сигнала y(nT) с интервалом дискретизации T исп-ся только один отсчет входного интерполируемого сигнала x(vT’) с интервалом дискретизации T’. При увеличении частоты дискретизации в L раз отсчет сигнала x(vT’) повторяется L раз на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1: y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,… Процесс интерполяции нулевого порядка показан на след.рис, где Tз-задержка, вносимая фильтром. Передаточная функция фильтра Реализация однородного фильтра: Входной сигнал x(vT’) записывается в регистр RG с частотой fд’=1/T’, а считывание сигнала y(nT) производится с частотой fд=Lfд’=1/T. Первый порядок(линейная интерполяция)
. Пусть дан сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Между кажд. отсчетом исх. сигнала вставляется L-1 отсчетов (повышение част.дискретизации). Записывается передаточная функция 10. Децимация: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры.Децимация
- процесс уменьшения частоты дискретизации сигнала. Рассмотрис сигнал x(t), модуль его спекта а). x(nT)-дискретизированный сигнал с интервалом дискретизации T, его модуль его спектра в первом случае б), во втором г). x(лямбдаT)-дискретизированный сигнал x(t) с интервалом дискретизации T’=MT.(M=2), его модуль спектра в первом случае в), во втором д). Случай 1. При дискретизации с частотой wд1 выполнилось условие условие wд1 2Мwmax.(в нашем случае wд1 4wmax). Сигнал можно восстановить, так как спектр не перекрывается. Случай 2. При дискретизации с частотой wд2 не выполнилось условие условие wд2 2Мwmax. Сигнал восстановить нельзя, т.к спектр накладывается. Для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации wд сигнала x(nT), подлежащего децимации, удовлетворяло условию wд 2Мwmax. Операция децимации осуществляется с помощью компрессора частоты дискретизации(КЧД)(рис слева). КЧД представляет собой ключ, который замыкается в моменты t=nMT=лямбдаT’, то есть из входного сигнала x*(nT) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формирует сигнал x(лямбдаT’)= x*(лямбдаМТ) с интервалом дискретизации Т=МТ Использование полифазной структуры при децимации с использованием КИХ-фильтров.
Данная структура содержит М параллельных ветвей обработки, в каждой из которых находится фильтр, работающий на «низкой» (выходной) частоте дискретизации. Уравнение, описывающее полифазную структуру децимации: Где М-целочисл.коэффициент, G-целое число, r=0, 1,…,M-1. Т.е. выходная последовательность y(лямбдаT’) схемы есть сумма М последовательностей yk(лямбдаMT’), k=0,1,…,M-1, каждая из которых есть в свою очередь результат фильтрации последовательности yk*(лямбдаMT’)=x(лямбдаМТ-kT) дискретным фильтром с ПФ Hk*(zM) и импульсной характеристики brk=brM+k, причем отсчеты импульсной характеристики k-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики bl фильтра-прототипа,взятые через М-1 отсчет. Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка.
Схема уменьшения частоты дискретизации Нулевой порядок. В качестве фильтра используется однородный, передаточная функция которого: АЧХ однородного фильтра Условие, при котором выбирается порядок фильтра: N=k*M. Первый порядок. В качестве фильтра используется триангулярный с ПФ.
(3.32)
(3.34)
- функция Бесселя.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
п= 1,2,...- функции Эрмита.
(3.39)
(3.40)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.48)
(3.49)
(3.53)
(3.55)
ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ
Анализатор спектра по функциям Уолша, содержащий генератор тактовых импульсов, выходом подключенный к входу синхронизации генератора функций Уолша, выход i-й функции Уолша которого соединен с синхронизирующим входом i-го реверсивного счетчика, подключенного к информационному входу i-го регистра, выход которого является выходом i-й гармоники анализатора, а также элемент И, первый вход которого является информационным входом анализатора, отличающийся тем, что дополнительно введены делитель частоты и последовательно соединенные сдвиговый регистр и кольцевой сдвиговый регистр, включенные между выходом элемента И и счетным входом каждого из реверсивных счетчиков, а делитель частоты включен между генератором тактовых импульсов и вторым входом элемента И, соединенным с управляющим входом сдвигового регистра параллельно с управляющим входом каждого реверсивного счетчика и каждого регистра, причем выход генератора тактовых импульсов подключен к управляющему входу кольцевого сдвигового регистра параллельно с входом генератора функций Уолша.
ортогональных функций . В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье , разложение по функциям Уолша , вейвлет-преобразование и др.
Базисные функции
Математическое представление
(2.8)
(2.9)
(2.10)
при (2.11)
. (2.12)
, (2.13)
, (2.15)
— модуль амплитуд гармоник;
— фазы гармоник;
— коэффициенты косинусоидальных составляющих; 
— коэффициенты синусоидальных составляющих; 
— среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).
, (2.16)
— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Рис. 2.7.
Модуль спектра периодического сигнала
. (2.20)
(2.21)
. (2.22)
=. (2.24)
