И фазовыми сдвигами

. (1.3.1)

Коэффициенты - вещественные амплитуды гармоник с их знаками – можно вычислить по спектрам одиночных сигналов:

, (1.3.2)

где - запаздывание (смещение) центра сигналов относительно начала координат , равное в конкретном случае половине длительности импульсов.

Спектры одиночных прямоугольного и треугольного импульсов амплитудой и длительностью соответственно равны

; (1.3.3)

1.4. Преобразование сигналов в линейных цепях

Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях определяются их амплитудно-частотной (частотной) и фазочастотной (фазовой) характеристиками. Амплитуды k-х гармоник изменяются в раз, а начальные фазы смещаются на . Следовательно, на выходе линейной цепи получаем новые значения амплитуд гармоник и фазовых сдвигов: . Синтезируемый сигнал принимает вид

. (1.4.1)

Частотная и фазовая характеристики линейных цепей первого порядка

, (1.4.2)

где Т0 – постоянная времени цепи.

2. Моделирование искажений сигналов в линейных цепях

1. Установить параметры (целесообразно нормированные) прямоугольного и треугольного сигналов, расположенных в начале координат (при t=0): амплитуда А=1, период следования Т=1, длительность t в пределах (0.1….0.5)Т. При этом следует иметь ввиду, что в описании представлены формулы, а не операторы системы.

2. Ввести спектры прямоугольного и треугольного сигналов согласно (1.3.3) .

3. Задать число определяемых гармоник в пределах .

где - смещение (запаздывание) центра сигналов относительно начала координат (t=0), равное в данном случае половине длительности импульсов.

5. Построить гистограммы массивов коэффициентов и фаз .

6. Синтезировать сигнал рядом Фурье:

.

7. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи:

8. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при равной нулю фазовой характеристики цепи с целью оценки амплитудных искажений:

.

9. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при постоянном коэффициенте передачи (и наличии только фазовых сдвигов в цепи с целью оценки фазовых искажений:

.

10. Построить графики и сравнить исходные и синтезированные сигналы

при разных значениях числа гармоник.

отклонения) синтезированного сигнала на выходе цепи. Общая

расчетная формула для оценки погрешностей

.

12. Изменяя длительности импульсов и постоянную времени цепи изучить

зависимости искажений от сигналов от параметров цепи.

13. Повторить анализ преобразования, амплитудных и фазовых искажений

сигналов в линейной цепи второго порядка при различных значениях собственной частоты и степени затухания :

.

Контрольные вопросы

1. Ортогональные и ортонормированные системы базисных функций. Типовые системы ортогональных функций.

2. Представление сигналов ортогональными системами функций и определение коэффициентов.

3. Представление сигналов рядом и интегралом Фурье. Области применения.

4. Принцип построения спектральных диаграмм базисных функций.

5. Основные принципы анализа и синтеза сигналов.

6. Частотные и фазовые характеристики линейных цепей.

7. Оценка амплитудных и фазовых искажений сигналов в линейных цепях.

Библиографический список

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. С. 38-55, 184-202.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. С. 16-67.

3. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов.

Л.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.

М.: Наука, 1978.

5. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983. С. 190-197.

6. Садовский Г.А. Аналитическое описание сигналов. Рязань: РРТИ,1987.

7. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. С. 9-33.

Лабораторная работа №2. Спектры модулированных сигналов

1. Теоретическая часть

1.1. Модуляция и демодуляция

Для передачи измерительной информации параметры сигнала-носителя подвергаются модуляции. Процесс управления (изменения) параметров несущего сигнала в соответствии со значением измеряемой (передаваемой, преобразуемой) величины называется модуляцией, управляющая величина - модулирующей, а сигнал-носитель - модулированным. Если модуляции подвергается только один параметр сигнала-носителя, имеет место однопараметрическая модуляция, в противном случае – многопараметрическая. Преобразователи, в которых осуществляется модуляция сигнала, называются модуляторами. Выделение модулирующей функции из модулированного сигнала – демодуляция, а преобразователи модулированного сигнала в модулирующий называются демодуляторами.

Непрерывный гармонический сигнал-носитель описывается функцией

где амплитуда, круговая (угловая) частота (циклическая частота, период), начальная фаза – постоянные параметры гармонического сигнала. Изменению (модуляции) могут подвергаться амплитуда амплитудная модуляция (АМ), частота частотная модуляция (ЧМ), фаза фазовая модуляция (ФМ).

Методы анализа процессов в линейных цепях (системах)

При анализе процессов необходимо определить отклик цепи на входной сигнал в виде сигнала заданной формы. Из основ теории цепей известно, что для анализа прохождения гармонических сигналов через линейные цепи используют законы Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и другие несложные методы. Эти методы применимы и для анализа при произвольном воздействии. Однако в теории связи имеют дело с импульсными сигналами, которые более разнообразны по форме и спектральному составу и описываются большим числом параметров. Эти цепи сложны и по структуре. При анализе воздействия сигналов на такие цепи применяют спектральный и операторный методы и метод интеграла наложения.

Спектральный метод. Свойства линейных цепей (четырехполюсников) можно определить с помощью такого параметра, как частотный коэффициент передачи. Для этого необходимо рассмотреть отклик линейного четырехполюсника на входное воздействие и оценить их связь между собой.

Введем понятия комплексных амплитуд входного и выходного гармонических напряжений с угловой (круговой) частотой со:

Отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических напряжений одной частоты и определяет частотный коэффициент передачи (чаще просто - коэффициент передачи) линейной цепи (линейного четырехполюсника):

Модуль коэффициента передачи К(со) = |К(со)| называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент ср(со) - фазочастотной характеристикой (ФЧХ) линейного четырехполюсника. Как правило, АЧХ имеет один максимум, а ФЧХ изменяется монотонно в зависимости от частоты (рис. 4.2).

В области некоторой полосы частот отклик цепи на входное воздействие начинает уменьшаться. Поэтому используют понятие полосы пропускания (рабочей полосы) - области частот, где модуль коэффициента передачи К(со) не менее 1/V2 = 0,707 своего максимального значения. Наиболее же удобен на практике нормированный модуль коэффициента передачи К/К шкс, максимальное значение которого равно 1. Значение 1/V2, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, введено не случайно. Дело в том,

Рис. 4.2.

а - АЧХ; б - ФЧХ что на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи но мощности, равный отношению выходной и входной мощностей, уменьшается в два раза. На рис. 4.2 полоса пропускания заключена в области от нижней со н до верхней со в частоты, и поэтому ее ширина Дсо 0 = со в - со,. На практике часто используют циклическую частоту /= /(2). Тогда полоса пропускания цепи

где/ и - нижняя, а/ в - верхняя граничные циклические частоты.

К вопросу о частотном коэффициенте передачи можно подойти и с другой точки зрения. Если на вход линейной цени подается гармонический сигнал единичной амплитуды, имеющий комплексную аналитическую модель вида u BX (t) = e J(0t , то сигнал на ее выходе запишется как u Bbai (t) = К(Подставляя эти выражения в формулу (4.1), после несложных преобразований запишем частотный коэффициент передачи в форме дифференциального уравнения

Согласно формуле (4.3) частотный коэффициент передачи линейной цепи, у которой связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной у со. При этом коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.

С помощью частотного коэффициента передачи К(со) можно определить сигнал на выходе линейного четырехполюсника. Пусть на входе линейного четырехполюсника с частотным коэффициентом передачи К(со) действует непрерывный сигнал произвольной формы в виде напряжения м вх (?). Применив прямое преобразование Фурье (2.29), определим спектральную плотность входного сигнала 5 вх (со). Тогда спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи

Проведя обратное преобразование Фурье (2.30) от спектральной плотности (4.4), запишем выходной сигнал как

Операторный метод. Наряду со спектральным применяют операторный метод, базирующийся на представлении преобразованиями Лапласа входных и выходных сигналов. Термин «операторный метод» введен О. Хевисайдом. Он предложил символический способ решения линейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных цепях. Метод Хевисайда основан на замене оператора дифференцирования d/dt комплексным параметром р , который переводит анализ сигналов из временной области в область комплексных величин. Рассмотрим комплексный или вещественный аналоговый сигнал u(t ), определенный при t > 0 и равный нулю в момент времени t = 0.

Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной р , выраженная интегралом

Аналитическую запись сигнала u(t) называют оригиналом , а функцию U(p) - его изображением по Лапласу (проще - изображением). Интеграл

• (4.6) внешне напоминает прямое преобразование Фурье (2.29). Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл прямого преобразования Фурье (2.29) входит мнимая частотаусо, а в интеграл Лапласа
• (4.6) - комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = а + усо (а - вещественная составляющая), при этом рассматривают только положительные значения времени t. За счет множителя е~ ш под интегралом в формуле (4.6) для U(p) преобразование Лапласа возможно и для неинтегрируемых функций u(t).

Использование понятия комплексной частоты в интегральном преобразовании делает его более эффективным по сравнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (2.29) невозможно непосредственно определить спектр функции включения а(?) = 1(0- Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (4.6) легко отыскать его операторное изображение:

или, поскольку е~ а ‘°° = 0, получим

Из приведенного примера очевидно, что повышение эффективности преобразования (4.6) обусловлено наличием множителя е -а/ , который обеспечивает сходимость данного интеграла даже для сигналов, не удовлетворяющих условию сходимости интеграла . Наличие этого множителя позволяет интерпретировать преобразование Лапласа (4.6) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е ш е,ш = = е (а+уe j (в символической форме).

Преобразование Лапласа (4.6) обладает линейными свойствами, аналогичными свойству линейности преобразования Фурье:

Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с аналогичными преобразованиями Фурье. Упрощение связано не только с комплексностью оператора р , но и с тем, что оригиналы анализируют на бесконечном интервале .

По аналогии с обратным преобразованием Фурье вводят обратное интегральное преобразование Лапласа , которое осуществляют с помощью вычетов:

где а, - вещественная переменная, отражаемая на комплексной плоскости.

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа позволяет решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть необходимо найти решение дифференциального уравнения (4.1). Установим ряд допущений:

• входной сигнал u BX (t) = 0 при t
• входной сигнал содержит в себе только те функции, для которых существуют преобразования Лапласа;
• начальные условия нулевые, т.е. г/ вых (0) = 0.

Введем соответствия между оригиналами входного и выходного сигналов и их изображениями по Лапласу:

Осуществив преобразование Лапласа обеих частей формулы (4.1), получим

В теории автоматических систем сомножитель перед U Bblx (p ) в формуле (4.8) обозначают через Q(p), называя собственным оператором системы, а сомножитель перед U nx (p) - через R(p) и называют оператором воздействия.

Операторный метод базируется на важнейшей характеристике, являющейся отношением изображений выходного и входного сигналов:

и называемой передаточной функцией {операторным коэффициентом передачи) линейной цепи.

Воспользовавшись уравнением (4.8), находим

Сравнение формул (4.3) и (4.9) показывает, что функция К(р ) отражает результат аналитического переноса комплексного частотного коэффициента передачи /((со) с мнимой оси jeo на всю область комплексных частотр = а + jco.

Если известна передаточная функция К(р), то выходную реакцию цепи на заданное входное воздействие u nx (t) можно определить по следующей схеме:

• записать изображение входного сигнала u BX (t) -? U BX (p)
• найти изображение выходного сигнала 0 иых (р) = K(p)U ux (p)
• вычислить выходной сигнал u ttblx (t) - 5 ? 0 вых (р).

Корни знаменателя p v p 2 > ->Р п в формуле (4.9), т.е. корни функции

называют полюсами передаточной функции К{р).

Соответственно корни числителя z v z 2 , z m функции К(р), т.е. корни функции

характеризуют как пули передаточной функции.

В реальных электрических цепях п> т.

При делении числителя на знаменатель в формуле (4.9) появляется постоянный множитель К 0 , и это уравнение принимает так называемое нуль- полюсное представление передаточной функции

Действительные значения коэффициентов а п и Ъ т дифференциального уравнения (4.16) обусловливает следующее свойство полюсов и нулей передаточной функции линейного четырехполюсника: либо все эти числа вещественные, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Рис. 4.3.

Очень часто используют наглядный прием отображения нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости а,усо. При этом полюса принято обозначать крестиками, а нули - кружками. Например, на рис. 4.3 кружком в начале координат показан нуль, а крестиками 1 и 2 - полюсы передаточной функции некоторой колебательной цени. Полюсы 1 и 2 отрицательны, вещественны и определяют разность двух затухающих экспонент. Комплексно-сопряженные полюсы 3 и 4 определяют колебательный характер передаточной функции К(р) с тем большим затуханием, чем левее они расположены, и с тем большей частотой затухающих колебаний, чем дальше они отходят вверх и вниз от вещественной оси а. Расположение полюсов в левой полуплоскости соответствует затухающему характеру передаточной функции. Нули передаточной функции могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости.

Динамическое представление линейных цепей. Метод интеграла наложения. Свойства линейных цепей часто проще оценить видом их отклика на воздействие элементарных сигналов. Применение нашло два вида динамического представления линейных цепей. Согласно первому из них для анализа отклика цепи в качестве элементарных сигналов служат прямоугольные импульсы длительностью Д, в пределе стремящиеся к дельта-функции. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее. При втором способе элементарными сигналами служат ступенчатые функции, возникающие в виде функций включения через равные промежутки времени А. Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени Д.

Одним из элементарных электрических сигналов, применяемых при анализе прохождения различных колебаний через линейные цепи (четырехполюсники), является дельта-функция 5(?). Другим элементарным электрическим сигналом в технике связи служит функция включения а(?).

Дельта-функция и функция включения связаны между собой аналитически. Результатом дифференцирования функции включения является дельта-функция

Соответственно

Пример 4.1

Найдем производную от произведения экспоненциального импульса и функции включения u(t) = e~ at v(t).

Решение

Для функции е~ ш в момент времени t = 0 е~ а "° = 1. Производная В результате вычислений получим следующее выражение:

Импульсная и переходная характеристики линейной цепи. Линейность и стационарность позволяют легко найти реакцию линейной системы теоретически на любой входной сигнал, зная всего одну функцию - реакцию системы на поданную на вход дельта-функцию 8(t). Эту реакцию называют импульсной характеристикой или ядром свертки линейной цепи (системы) и обозначают h(t). Различные виды реальных импульсных характеристик линейных цепей h v h 2 , h 3 показаны на рис. 4.4, а.

Рис. 4.4.

а - различные виды импульсных; б - переходная

Откликом линейной цепи на единичную функцию является переходная характеристика g(t) (рис. 4.4, б). Положим, что требуется определить выходной сигнал и вых (?) линейной цепи (линейного четырехполюсника), если известны ее импульсная характеристика h(t) и входной сигнал u BX (t). Заменим приближенно кривую входного сигнала u nx (t) ступенчатой линией в виде совокупности достаточно коротких прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую длительность Ат (рис. 4.5, а).

Рис. 4.5.

а - входной сигнал; б - отклики на импульсы и выходной сигнал

Формирование выходного сигнала можно пояснить следующим образом. Достаточно малый «кусочек» входного сигнала длительностью Ат подается на вход анализируемой цепи. Если выбрать длительность импульсов Ат бесконечно малой, то отклик линейной цепи на первый по счету прямоугольный импульс будет приближенно равен отклику той же цепи на дельта-функцию (а это будет импульсная характеристика), умноженному на площадь (и пх (0)Ат) первого импульса, т.е. u nx (0)Axh(t) (рис. 4.5, б). Откликом линейной цепи на второй импульс с достаточной точностью является произведение г/ вх (Ax)Axh(t - Ат), где и вх (Ат)Ат - площадь этого импульса, а величина h(t - Ат) - импульсная характеристика линейной цепи, соответствующая моменту времени t = Ат. Следовательно, для некоторого произвольного момента времени t = пАх (п - число условно сформированных импульсов, приходящихся на интервал времени ) отклик линейной цепи приближенно выразится суммой (штриховая линия на рис. 4.5, б)

Если длительность импульсов Ат последовательно приближается к нулю, то малое приращение времени Ат превращается в dx, а операция суммирования трансформируется в операцию интегрирования по переменной т = kAx:

Для реальных линейных цепей всегда h(t) = 0 при t

Это фундаментальное соотношение в теории линейных цепей представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля Напомним, что

интеграл (4.13) называют сверткой двух функций (см. гл. 2). Итак, линейная система осуществляет свертку входного сигнала со своей импульсной характеристикой, в результате чего получается выходной сигнал. Формула (4.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку входного сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом».

Техника свертки. Для вычисления свертки по выражению (4.13) функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений L В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика /?(()). В теории электрических цепей применяют другую, эквивалентную форму интеграла Дюамеля:

Итак, линейная система преобразует относительно переменной t функции, входящие в формулу (4.14). При этом входной сигнал преобразуется в выходной сигнал м вых (?)> а дельта-функция 8(t - т) - в импульсную характеристику h(t - т). Функция м вх (т) не зависит от переменной t и поэтому остается без изменений. В результате получается формула, показывающая, что выходной сигнал линейной системы равен свертке входного сигнала с ее импульсной характеристикой:

Определим связь импульсной характеристики с частотным коэффициентом передачи линейной цепи. Воспользуемся комплексной формой гармонического сигнала единичной амплитуды и вх (?) = ехр(/со?). Подставив это выражение в формулу (4.14) и вынеся его за знак интеграла, находим отклик цепи:

Интеграл в скобках является комплексной функцией частоты

и представляет собой коэффициент передачи (здесь сделана формальная замена т на t).

Выражение (4.15) устанавливает чрезвычайно важный факт - частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной цепи связаны прямым преобразованием Фурье. Очевидно и наличие обратного преобразования Фурье для коэффициента передачи и импульсной характеристики

с помощью которого можно легко определить импульсную характеристику цепи по ее частотному коэффициенту передачи.

Поскольку существует простая связь между 6(7т) и a(t) по формулам (4.10) и (4.11), все выводы для линейной цепи, сделанные при помощи дельта-функции, легко переносятся па функцию включения. Проведя аналогичные рассуждения и расчеты, можно показать возможность простого представления входных и выходных сигналов с помощью функции включения a(t) и переходной характеристики линейной цепи g(t). Разбив входной сигнал (рис. 4.6) на элементарные функции включения Д мст(7) (здесь А и - амплитуда элементарного скачка входного напряжения) и поступая так же, как и при выводе соотношения (4.12), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля, позволяющую определить сигнал на выходе линейной цепи:

Рис. 4.6.

В теории линейных цепей установлена определенная связь между импульсной и переходной характеристиками. Поскольку переходная характеристика neiiHg(?) есть отклик на единичную функцию ст(/,), которая, в свою очередь, представляет собой интеграл от дельта-функции 8(7) (см. формулу (4.11)), то и между функциями h(t.) и g(t) существует интегральное соотношение

Экспериментально импульсную характеристику линейной цепи можно построить, подавая на ее вход короткий импульс единичной площади и уменьшая длительность импульса при сохранении площади до тех пор, пока сигнал на выходе перестанет изменяться. Это и будет импульсная характеристика цепи.

• Жан-Мари Дюамель (J. Duhamel, 1797-1872) - французский математик.

Параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами) , называются радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону. Предполагается, что изменение (точнее модуляция) какого-либо параметра осуществляется электронным методом с помощью управляющего сигнала. В радиотехнике широко применяются параметрические сопротивления R(t), индуктивности L(t) и емкости C(t).

Примером одного из современных параметрических сопротивлений может служить канал VLG-транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u г (t). В этом случае крутизна его стоко-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением функциональной зависимостью S(t)=S. Если к VLG-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t), то его ток определится выражением:

i c (t)=i(t)=S(t)u(t)=Su(t). (5.1)

Как к классу линейных, к параметрическим цепям применим принцип суперпозиции. Действительно, если приложенное к цепи напряжение является суммой двух переменных

u(t)=u 1 (t)+u 2 (t), (5.2)

то, подставив (5.2) в (5.1), получим выходной ток также в виде суммы двух составляющих

i(t)=S(t)u 1 (t)+S(t)u 2 (t)= i 1 (t)+ i 2 (t) (5.3)

Соотношение (5.3) показывает, что отклик параметрической цепи на сумму двух сигналов равен сумме ее откликов на каждый сигнал в отдельности.

Преобразование сигналов в цепи с параметрическим сопротивлением. Наиболее широко параметрические сопротивления применяются для преобразования частоты сигналов. Отметим, что термин «преобразование частоты» не совсем корректен, поскольку частота сама по себе неизменна. Очевидно, это понятие возникло из-за неточного перевода английского слова «heterodyning – гетеродинирование». Гетеродинирование – это процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов различных частот для получения третьей частоты.

Итак, преобразование частоты – это линейный перенос (смешивание, трансформация, гетеродинирование, или транспонирование) спектра модулированного сигнала (а также любого радиосигнала) из области несущей частоты в область промежуточной частоты (или с одной несущей несущей частоты на другую, в том числе и более высокую) без изменения вида или характера модуляции.

Преобразователь частоты (рис.5.1) состоит из смесителя (СМ) – параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа или обычного диода с квадратичной характеристикой), гетеродина (Г) – вспомогательного автогенератора гармонических колебаний с частотой ω г, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (обычно колебательного контура УПЧ или УВЧ).

Рис.5.1. Структурная схема преобразователя частоты

Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Положим, что под воздействием гетеродинного напряжения

u г (t)=U г cos ω г t (5.4)

крутизна характеристики МДП-транзистора преобразователя частоты изменяется во времени приближенно по закону

S(t)=S o +S 1 cos ω г t (5.5)

где S o и S 1 – соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики.

При поступлении на МДП-транзистор смесителя АМ-сигнала u AM (t)= U н (1+McosΩt)cosω o t переменная составляющая выходного тока в соответствии с (5.1) и (5.5) будет определяться выражением:

i c (t)=S(t)u AM (t)=(S o +S 1 cos ω г t) U н (1+McosΩt)cosω o t=

U н (1+McosΩt) (5.6)

Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана

ω пч =|ω г -ω о |. (5.7)

Тогда, выделив ее с помощью контура УПЧ из спектра тока (5.6), получим преобразованный АМ-сигнал с тем же законом модуляции, но существенно меньшей несущей частотой

i пч (t)=0,5S 1 U н (1+McosΩt)cosω пч t (5.8)

Заметим, что наличие только двух боковых составляющих спектра тока (5.6) определяется выбором предельно простой кусочно-линейной аппроксимации крутизны характеристики транзистора. В реальных схемах смесителей в спектре тока содержатся также составляющие комбинационных частот

ω пч =|mω г ±nω о |, (5.9)

где m и n – любые целые положительные числа.

Соответствующие временные и спектральные диаграммы сигналов с амплитудной модуляцией на входе и выходе преобразователя частоты показаны на рис. 5.2.

Рис.5.2. Диаграммы на входе и выходе преобразователя частоты:

а – временные; б – спектральные

Преобразователь частоты в аналоговых перемножителях . Современные преобоазователи частоты с параметрическими резистивными цепями построены на принципиально новой основе. В них в качестве смесителей используются аналоговые перемножители. Если на входы аналогового перемножителя подать два гармонических колебания некий модулированный сигнал:

u с (t)=U c (t)cosω o t (5.10)

и опорное напряжение гетеродина u г (t)=U г cos ω г t, то его выходное напряжение будет содержать две составляющие

u вых (t)=k a u c (t)u г (t)=0,5k a U c (t)U г (5.11)

Спектральная составляющая с разностной частотой ω пч =|ω г ±ω о | выделяется узкополосным фильтром УПЧ и используется в качестве промежуточной частоты преобразованного сигнала.

Преобразование частоты в цепи с варикапом . Если на варикап подать только гетеродинное напряжение (5.4), то его емкость приближенно будет изменяться во времени по закону (см.рис. 3.2 в части I):

C(t)=C o +C 1 cosω г t, (5.12)

где С о и С 1 – среднее значение и первая гармоническая составляющая емкости варикапа.

Положим, что на варикап воздействуют два сигнала: гетеродинное и (для упрощения расчетов) немодулированное гармоническое напряжение (5.10) с амплитудой U c . В этом случае заряд на емкости варикапа будет определяться:

q(t)=C(t)u c (t)=(С о +С 1 cosω г t)U c cosω o t=

С о U c (t)cosω o t+0,5С 1 U c cos(ω г - ω o)t+0,5С 1 U c cos(ω г + ω o)t, (5.13)

а ток, протекающий через него,

i(t)=dq/dt=- ω o С o U c sinω o t-0,5(ω г -ω o)С 1 U c sin(ω г -ω o)t-

0,5(ω г +ω o)С 1 U c sin(ω г +ω o)t (5.14)

Включив последовательно с варикапом колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту ω пч =|ω г -ω о |, можно выделить желаемое напряжение.

С реактивным элементом типа варикапа (для сверхвысоких частот это варактор ) можно создать также параметрический генератор, усилитель мощности, умножитель частоты. Такая возможность основана на преобразовании энергии в параметрической емкости. Из курса физики известно, что энергия, накопленная в конденсаторе, связана с его емкостью С и зарядом на ней q формулой:

Э= q 2 /(2С). (5.15)

Пусть заряд остается постоянным, а емкость конденсатора уменьшается. Поскольку энергия обратно пропорциональна величине емкости, то приуменьшении последней энергия растет. Количественное соотношение такой связи получим, дифференцируя (5.15) по параметру С:

dЭ/dC= q 2 /2C 2 =-Э/С (5.16)

Это выражение также справедливо и для малых приращений емкости ∆С и энергии ∆Э, поэтому можно записать

∆Э=-Э (5.17)

Знак минус здесь показывает, что уменьшение емкости конденсатора (∆С<0) вызывает увеличение запасаемой в нем энергии (∆Э>0). Увеличение энергии происходит за счет внешних затрат на выполнение работы против сил электрического поля при уменьшении емкости (например, путем изменения напряжения смещения на варикапе).

При одновременном воздействии на параметрическую емкость (или индуктивность) нескольких источников сигналов с разными частотами, между ними будет происходить перераспределение (обмен) энергий колебаний. На практике энергия колебаний внешнего источника, называемого генератором накачки , через параметрический элемент передается в цепь полезного сигнала.

Для анализа энергетических соотношений в многоконтурных цепях с варикапом обратимся к обобщенной схеме (рис.5.3). В ней параллельно параметрической емкости С включены три цепи, две из которых содержат источники e 1 (t) и e 2 (t), создающие гармонические колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Источники соединены через узкополосные фильтры Ф 1 и Ф 2 , пропускающие соответственно колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Третья цепь содержит сопротивление нагрузки R н и узкополосный фильтр Ф 3 , так называемый холостой контур , настроенный на заданную комбинационную частоту

ω 3 = mω 1 +nω 2, (5.18)

где m и n – целые числа.

Для упрощения будем считать, что в схеме применены фильтры без омических потерь. Если в схеме источники e 1 (t) и e 2 (t) отдают мощности Р 1 и Р 2 , то сопротивление нагрузки R н потребляет мощность Р н. Для замкнутой системы в соответствии с законом сохранения энергии получим условие баланса мощностей:

Р 1 +Р 2 +Р н =0 (5.19)

Интересными и полезными для радиотехнических приложений свойствами обладают линейные системы, которые описываются нестационарными системными операторами зависящими от времени. Закон преобразования входного сигнала здесь имеет вид

причем благодаря линейности системы

при любых постоянных

Цепи, описываемые равенством (12.1), называются параметрическими. Термин связан с тем, что в составе таких цепей обязательно присутствуют элементы, параметры которых зависят от времени. В радиотехнических цепях находят применение следующие параметрические резисторы конденсаторы и индуктивности

Отличительная черта линейной параметрической системы - наличие вспомогательного источника колебаний, управляющего параметрами элементов.

Важная роль, отводимая в радиотехнике параметрическим цепям, обусловлена их способностью преобразовывать спектры входных сигналов, а также возможностью создания малошумящих параметрических усилителей.

12.1. Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи

Параметрическую цепь называют резистивной, если ее системный оператор имеет числа , зависящего от времени и служащего коэффициентом пропорциональности между входным и выходным сигналами:

Простейшей системой такого вида служит параметрический резистор с сопротивлением . Закон, связывающий мгновенные значения напряжения и тока в этом двухполюснике, таков:

Параметрический резистивный элемент может описываться также переменнойво времени проводимостью

Реализация параметрических резистивных элементов.

На практике параметрически управляемые резисторы создают следующим образом.

На вход безынерционного нелинейного двухполюсника с вольт-амперной характеристикой подают сумму даух колебаний: управляющего напряжения и напряжения сигнала При этом управляющее напряжение значительно превышает по амплитуде полезный сигнал. Ток в нелинейном двухполюснике можно записать, разложив вольт-амперную характеристику в ряд Тейлора относительно мгновенного значения управляющего напряжения:

Амплитуду сигнала выбирают столь малой, что в формуле (12.5) можно пренебречь вторыми и более высокими степенями величины Обозначив через приращение тока в двухполюснике, вызванное наличием сигнала, получим

Ниже будут изучены важные применения параметрических резистивных элементов рассмотренного вида.

Преобразование частоты.

Так называют трансформацию модулированного сигнала, связанную с переносом его спектра из окрестности несущей частоты в окрестность некоторой промежуточной частоты совершаемую без изменения закона модуляции.

Преобразователь частоты состоит из смесителя - параметрического безынерционного элемента, и гетеродина - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой служащего для параметрического управления смесителем. Под действием напряжения гетеродина дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики смесителя периодически изменяется во времени по закону

Если на входе преобразователя частоты действует напряжение АМ-сигнала , в соответствии с выражениями (12.6) и (12.7) в выходном токе появляется составляющая ПО см

В качестве промежуточной принято выбирать частоту ток на промежуточной частоте

является АМ-колебанием с тем же законом модуляции, что и входной сигнал.

Для выделения составляющих спектра с частотами, близкими к промежуточной частоте, в выходную цепь преобразователя включают колебательный контур, настроенный на частоту

Рис. 12.1. Структурная схема супергетеродинного приемника

Преобразование частоты широко используется в радиоприемных устройствах - так называемых супергетеродинах. Структурная схема супергетеродинного приемника изображена на рис. 12.1.

Сигнал, принятый антенной, через фильтрующие входные цепи и усилитель радиочастоты (УРЧ) поступает на преобразователь. Выходной сигнал преобразователя является модулированным колебанием с несущей частотой, равной промежуточной частоте приемника. Основное усиление приемника и его частотная избирательность, т. е. способность выделять полезный сигнал из помех с другими частотами, обеспечиваются узкополосным усилителем промежуточной частоты (УПЧ).

Большое достоинство супергетеродина - неизменность промежуточной частоты; для настройки приемника приходится перестраивать лишь гетеродин и в некоторых случаях колебательные системы, которые имеются во входных цепях и в УРЧ.

Отметим, что преобразователь частоты одинаково реагирует на сигналы с частотами радиотехнике говорят, что возможен прием как по основному, так и по зеркальному каналу. Во избежание неоднозначности настройки приемника требуется обеспечить такую избирательность резонансных систем, включенных между антенной и преобразователем частоты, чтобы практически подавить сигналы зеркального канала.

Крутизна преобразования.

Эффективность работы преобразователя частоты принято характеризовать особым параметром - крутизной преобразования которая служит коэффициентом пропорциональности между амплитудой тока промежуточной частоты и амплитудой немодулированного напряжения сигнала, т. е. Как следует из соотношения (12.8),

Итак, крутизна преобразования равна половине амплитуды первой гармоники дифференциальной крутизны параметрического элемента.

Предположим, что вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, входящего в преобразователь частоты, квадратична: . В отсутствие сигнала к элементу приложена сумма напряжений смещения и гетеродина:

Дифференциальная крутизна преобразователя изменяется во времени по закону

Обращаясь к формуле (123), видим, что в данном случае

(12.11)

Таким образом, при постоянном уровне полезного сигнала на входе амплитуда выходного сигнала преобразователя пропорциональна амплитуде напряжения гетеродина.

Пример 12.1. В преобразователе частоты использован нелинейный элемент (транзистор) с характеристикой имеющей параметр Резонансное сопротивление колебательного контура в коллекторной цепи . Амплитуда смодулированного входного сигнала амплитуда напряжения гетеродина . Найти значение - амплитуду напряжения промежуточной частоты на выходе преобразователя.

По формуле (12.11) вычисляем крутизну преобразования Амплитуда тока промежуточной частоты в цепи коллектора . Полагая выходное сопротивление транзистора достаточно высоким, гак что можно пренебречь его шунтирующим действием на колебательный контур, находим

Синхронное детектирование.

Предположим, что в преобразователе частоты гетеродин настроен точно на частоту сигнала, поэтому дифференциальная крутизна изменяется во времени по закону

Подав на вход такого устройства АМ-сигнала , получаем выражение для тока обусловленного сигналом:

Выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, содержит постоянную составляющую которая зависит от сдвига фазы между сигналом гетеродина и несущим колебанием входного сигнала. Поэтому в спектре выходного тока появится низкочастотная составляющая

этот ток пропорционален переменной амплитуде АМ-сигнала.

Синхронным детектором называют преобразователь частоты, работающий при условии ; для выделения полезного сигнала на выходе включен ФНЧ, например, параллельная RC-цепь.

При использовании синхронных детекторов на практике между несущим колебанием входного сигнала и колебанием гетеродина должно поддерживаться жесткое фазовое соотношение.

Наиболее благоприятен режим работы при если же , то полезный выходной сигнал отсутствует. Чувствительность синхронного детектора к сдвигу фаз позволяет использовать его для измерения фазовых соотношений между двумя когерентными колебаниями.

Ниже показана конкретная методика расчета синхронного детектора.

Пример 12.2. В синхронном детекторе использован транзистор, характеристика которого аппроксимируется двумя отрезками прямых. Параметры аппроксимации: . Амплитуда напряжения гетеродина , постоянное напряжение смещения отсутствует Немодулированное напряжение полезного сигнала с амплитудой сдвинуто по фазе относительно колебаний гетеродина на угол . Определить изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора, вызванное полезным сигналом, если сопротив ление резистора .

При данном виде вольт-амперной характеристики нелинейного элемента дифференциальная крутизна может принимать лишь два значения:

Поэтому график изменения дифференциальной крутизны во времени представляет собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов. Угол отсечки тока , определяющий длительность этих импульсов, найдем по формуле (см. гл. 2)

Разлагая функцию в ряд Фурье, вычисляем амплитуду первой гармоники крутизны:

Полезный сигнал вызывает согласно (12.13) приращение тока через транзистор на величину . Отсюда находим изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора:

Спектр сигнала на выходе параметрического резистивного элемента.

Анализ работы преобразователя частоты и синхронного детектора убеждает, что в параметрическом резистивном элементе возникают спектральные составляющие, которые отсутствуют на входе этого элемента.

Рассмотрим параметрическое преобразование вида (12.3) с общих позиций спектрального анализа. Очевидно, параметрический резистивный элемент функционирует как перемножитель входного сигнала и управляющего колебания

Запишем следующее соответствие между сигналами и их преобразованиями Фурье:

На основании теоремы о спектре произведения сигналов (см. гл. 2) спектральная плотность выходного сигнала представляет собой свертку

(12.14)

В прикладном отношении большой интерес представляет случай, когда управляющее колебание является периодическим с некоторым заданным периодом и может быть представлено рядом Фурье

(12.15)

где - угловая частота управляющего сигнала.

Как известно, подобный неинтегрируемый сигнал имеет спектральную плотность, отличную от нуля лишь в дискретных точках на оси частот:

(12.16)

Подставив данное выражение в формулу (12.14), получим спектр сигнала на выходе параметрического элемента:

(12.17)

Спектр стробированного сигнала.

Анализ общей формулы (12.17) удобно провести применительно к частному, но широко распространенному на практике случаю. Пусть управляющая функция на протяжении каждого периода равна единице в пределах отрезка времени длительностью ; в остальные моменты времени функция равна нулю.

В радиотехнике операцию умножения сигнала на функцию подобного вида называют стробированием сигнала.

Легко убедиться, что коэффициенты комплексного ряда Фурье (12.15) применительно к рассматриваемой стробирующей функции выражаются следующим образом:

(12.18)

где - скважность стробирукяцей последовательности.

Подстановка этого результата в формулу (12.17) приводит к выводу о том, что спектральная плотность стробированного сигнала

Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.

В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.

Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.

Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами

Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .

Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)

то плотность вероятности на выходе линейной цепи

Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.

Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.