Для определения импульсной характеристики g (t ,τ), где τ - время воздействия, t - время появления и действия отклика, непосредственно по заданным параметрам цепи необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Чтобы проанализировать методику нахождения g (t ,τ), рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка:

где f (t ) - воздействие, y (t ) - отклик.

По определению, импульсная характеристика является откликом цепи на одиночный дельта-импульс δ(t -τ), подаваемый на вход в момент t =τ. Из этого определения следует, что если в правой части уравнения положить f (t )=δ(t -τ), то в левой части можно принять y (t )=g (t ,).

Таким образом, приходим к уравнению

.

Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме точки t =τ, функцию g (t ) можно искать в виде решения однородного дифференциального уравнения:

при начальных условиях, вытекающих из предыдущего уравнения, а также из условия, что к моменту приложения импульса δ(t -τ) в цепи отсутствуют токи и напряжения.

В последнем уравнении переменные разделяются:

где
- значения импульсной характеристики в момент воздействия.

Для определения начального значения
вернемся к исходному уравнению. Из него следует, что в точке
функцияg (t ) должна совершить скачок на величину 1/а 1 (τ), поскольку только при этом условии первое слагаемое в исходном уравнении a 1 (t )[dg /dt ] может образовывать дельта-функцию δ(t -τ).

Так как при

, то в момент

.

Заменяя неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом интегрирования, получаем соотношения для определения импульсной характеристики:

Зная импульсную характеристику, нетрудно определить передаточную функцию линейной параметрической цепи, поскольку обе оси связаны парой преобразования Фурье:

где a =t -τ - задержка сигнала. Функция g 1 (t ,a ) получается из функции
заменой τ=t-a .

Наряду с последним выражением, можно получить еще одно определение передаточной функции, в котором импульсная характеристика g 1 (t ,a ) не фигурирует. Для этого используем обратное преобразование Фурье для отклика S ВЫХ (t ):

.

Для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием, S (t )=cosω 0 t . Соответствующий S (t ) аналитический сигнал есть
.

Спектральная плоскость этого сигнала

Подставляя
вместо
в последнюю формулу, получаем

Отсюда находим:

Здесь Z ВЫХ (t ) - аналитический сигнал, соответствующий выходному сигналу S ВЫХ (t ).

Таким образом, выходной сигнал при гармоническом воздействии

определяется так же, как и для любых других линейных цепей.

Если передаточная функция K (j ω 0 ,t ) изменяется во времени по периодическому закону с основной частотой Ω, то ее можно представить в виде ряда Фурье:

где
- не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно трактовать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с постоянными параметрами.

Произведение

можно рассматривать как передаточную функцию каскадного (последовательного) соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией
, не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией
, изменяющейся во времени, но не зависящей от частоты ω 0 входного сигнала.

Основываясь на последнем выражении, любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде следующей эквивалентной схемы:

Откуда понятен процесс образования новых частот в спектре выходного сигнала.

Аналитический сигнал на выходе будет равен

где φ 0 , φ 1 , φ 2 … - фазовые характеристики четырехполюсников .

Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем

Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, но периодическому закону с основной частотой

Ω, гармонический входной сигнал с частотой ω 0 образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты ω 0 , ω 0 ±Ω, ω 0 ±2Ω и т. д.

Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой из частот ω и к входному спектру. Разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцип суперпозиции) и на выходе цепи не возникает частот вида n  ω 1 ± m ω 2 где ω 1 и ω 2 - различные частоты входного сигнала.

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1)

Результат вычислений совпадает с формулой H(jщ), полученной в п. 2.2

Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики

Пусть принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала.Тогда по теореме Котельникова частота дискретизации кГц. Откуда период дискретизации T=0.2мс

По графику, изображенному на рис.2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U 1 (n) для t моментов дискретизации.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле

где T=0.0002 с; n=0, 1, 2,…., 20.

Таблица 3. Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются для первых 8 отсчетов с помощью формулы дискретной свертки.

Таблица 4. Дискретный сигнал на выходе цепи.

Сопоставление результатов расчета с данными таблицы 1 показывает, что различие в значениях U 2 (t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением при данных начальных параметрах.

Рисунок 9. Значение дискретного сигнала на входе цепи.

Рисунок 10. Значение дискретного сигнала на выходе цепи.

Рисунок 11. Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n).

Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем

с нулевыми начальными условиями

Переходная характеристика h(t) - это реакция системы на входное единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Момент возникновения входного воздействия

Рис.2.4. Переходная характеристика системы

Примеp 2.4:

Переходные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:

Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).

Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия.

Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

С помощью дельта-функции моделируется реальное входное воздействие типа удара.

Рис.2.5. Импульсная характеристика системы

Примеp 2.5:

Импульсные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:

Переходная функция и импульсная функция однозначно связаны между собой соотношениями

Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения

Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению

Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0 , то

,

(2.17)

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту

При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования

что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику - передаточную функцию.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)

Запишем уравнение состояния в символической форме:

px = Ax + Bu ,

что позволяет определить вектор состояния

Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:

(2.27)

где - скалярные передаточные функции , которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях

Собственными передаточными функциями i -го канала называются компоненты передаточной матрицы , которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Обратная матрица находится по выражению

Пример 2.6.

Определить передаточную матрицу для объекта

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь

Транспонированная матрица имеет вид

a det(pI-A) = p -2p+1, .

где - транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:

и передаточную матрицу объекта

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида

где - характеристический полином.

Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:

,

(2.32)

где - коэффициент передачи;

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).

Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:

Оператор дифференцирования;

Оператор преобразования Лапласа.

Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.

Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),

Подвергнем его преобразованию Лапласа,

,

и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:

(2.33)

Таким образом, передаточная функция - есть преобразование по Лапласу от импульсной функции.

Пример 2.7.

Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме

на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если

.

(2.37)

Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n -корней , которые называются собственными значениями матрицы A . При подстановке собственных значений в (2.37) получим

.

где - собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы .

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).

Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики . Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики . Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

,

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Пример 2.8.

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

.

(2.44)

.

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

.

Рис. 2.10. ЛФХ системы

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

3.1. Введение

3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)

3.3. Дифференцирующее звено

3.4. Интегрирующее звено

3.5. Апериодическое звено

3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)

3.7. Звено 2-го порядка

3.8. Структурные преобразования

3.8.1. Последовательное соединение звеньев

3.8.2. Параллельное соединение звеньев

3.8.3. Обратная связь

3.8.4. Правило переноса

3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем

3.10. Область применимости структурного метода

Введение

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями .

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.

Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.

Пропорциональное звено

(усилительное, безынерционное)

Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением

а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.

Импульсная функция имеет вид:

g(t) = k .

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.

Заменив в передаточной функции p на j получим следующие частотные характеристики:

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:

Это означает, что амплитуда периодического входного сигнала усиливается в k - раз, а фазовый сдвиг отсутствует.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

y = k .

(3.6)

Его передаточная функция имеет вид:

Получим теперь частотные характеристики звена.

АФХ : W(j ) = j k , совпадает с положительной мнимой полуосью на комплексной плоскости;

ВЧХ : R() = 0 ,

МЧХ : I() = k ,

АЧХ : ,

ФЧХ : ,то есть для всех частот звено вносит постоянный фазовый сдвиг;

Интегрирующее звено

Это звено, уравнение которого имеет вид:

а затем к его передаточной функции

Определим частотные характеристики интегрирующего звена.

АФХ: ; ВЧХ: ; МЧХ: ; она имеет вид прямой на плоскости (рис.3.9).

Характеристическое уравнение

A(p) = p = 0

имеет единственный корень, , который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

где , - коэффициент передачи звена.

Заменив в (3.18) d/dt на p , перейдем к символической записи дифференциального уравнения,

(Tp+1)y = ku,

(3.19)

и определим передаточную функцию апериодического звена:)=20lg(k).

Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.

Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.

Импульсная характеристика цепи - это отклик цепи на воздействие дельта-функции . - бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.

Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.

Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.

.

Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:

Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.

Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.

Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:

Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .

; , ;

Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :

Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:

Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.

.

Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.

Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку

По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.

фурье сигнал аналоговый линейный

Рисунок 2.5 - Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Рисунок 2.6 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.

Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал - не прошедшие низкие частоты.

Статья в тему

Внедрение и использование GPS-трекеров в среде предприятия
Трекер - устройство приёма-передачи-записи данных для спутникового мониторинга автомобилей, людей или других объектов, к которым оно прикрепляется, использующее Global Positioning System для точного определения местонахождения обьекта. Сферы применения GPS-мониторинга транспорта: скорая...

Многолучевой канал связи, как любая линейная система, определяется однозначно своей ИХ во временной области и/или передаточной функцией в частотной области. ИХ канала, и его передаточная функция позволяют определить связь выходного и входного сигналов и их спектров соответственно. Многолучевой канал показан на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Многолучевой канал

В многолучевом канале сигнал распространяется по многим путям, и n -ый путь (луч) характеризуется задержкой сигнала t n (t ) и комплексным коэффициентом передачи a n (t ). Если передается сигнал s (t ), то на входе приемника наблюдается сигнал x (t ), представляющий собой сумму сигналов, распространяющихся различными путями. Этот сигнал можно записать следующим образом:

, (2.3.1)

Подавляющее большинство систем связи применяют узкополосные сигналы, которые могут быть представлены в виде (1.1.2). Подставив (1.1.2) в (2.3.1), получим, что

Отсюда следует, что комплексная амплитуда принимаемого низкочастотного сигнала равна

Далее будем предполагать, что за время прохождения сигнала задержки t n (t ) и комплексные коэффициенты передачи a n (t ) для всех лучей остаются неизменными и равными t n и a n .

По определению ИХ линейной системы с фиксированными параметрами является откликом системы на входной d -импульс. Поэтому ИХ канала мы получим, если подадим на вход канала сигнал (1.1.2) с комплексной амплитудой равной . В результате будем иметь, что

Чтобы получить передаточную функцию канала , необходимо взять гармонический сигнал единичной амплитуды частоты f , т.е. подставить в (2.3.1) сигнал . Тогда получим, что

. (2.3.5)

В качестве примера рассмотрим свойства двулучевого канала. Предположим, что имеется прямой сигнал и сигнал, отраженный местным предметом. Прямой сигнал приходит без искажения и имеет задержку на время распространения от передатчика до приемника. Кроме того, его амплитуда уменьшается и зависит от расстояния между передатчиком и приемником. Эти изменения параметров сигнала не имеют принципиального значения для нашего рассмотрения. Поэтому начало отсчета времени совместим с моментом прихода прямого сигнала в приемную антенну, а амплитуду прямого сигнала нормируем так, чтобы она была равна единице. Фазу прямого сигнала примем равной нулю. В этом случае из (2.3.4) получаем, что канал можно характеризовать ИХ

где – комплексный коэффициент отражения сигнала от местного предмета, – разность фаз между первым и вторым сигналами из-за задержки t 2 второго сигнала относительно первого, а 2 – комплексная амплитуда второго сигнала по отношению к первому.

ИХ двулучевого канала изображена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Двулучевой канал: а) на вход приемника приходят прямой s 1 и отраженный s 2
сигналы; б) ИХ двулучевого канала

Заметим, что ИХ канала (2.3.6) не дает информации о направлении прихода второго сигнала. Обычно предполагается, что второй сигнал имеет меньшее значение амплитуды, т.е. .

Передаточную функцию канала найдем из (2.3.5). Получим, что

Коэффициент передачи канала по мощности определяется как квадрат модуля передаточной функции, т.е.

Пример этой функции приведен на рис. 2.6 для |a 2 |=0.8, t 2 =1, arga 2 =p/6. Видно, что коэффициент передачи канала по мощности имеет максимумы и минимумы, то есть гармонические сигналы с некоторыми частотами ослабляются, в то время как с другими частотами усиливаются. Минимумы наблюдаются для частот , где n =0, ±1,¼. Расстояние между минимумами на оси частот не зависит от фазы коэффициента отражения a 2 и равно . Средний коэффициент передачи по мощности равен 1+|a 2 | 2 и показан на рис. 2.6 штриховой линией, минимум равен (1-|a 2 |) 2 , а максимум - (1+|a 2 |) 2 . Если амплитуда прямого сигнала равна амплитуде задержанного сигнала, то может наблюдаться полное пропадание сигнала на входе приемника.

Рис. 2.6. Коэффициент передачи двулучевого канала по мощности

Изменение уровня принимаемого сигнала, вызванное интерференцией сигналов, проходящих в канале различными путями, принято называть замираниями принимаемого сигнала или федингами. Если полоса пропускания приемника , то все спектральные компоненты сигнала в пределах частотной полосы приемника будут испытывать дружные замирания. В этом случае принято говорить, что канал является плоским (flat channel). Если выполняется другое условие , то различные спектральные компоненты сигнала испытывают различные замирания. В этом случае говорят, что канал является частотно селективным (frequency selective channel).

Фаза отраженного сигнала в (2.3.7) может изменяться значительно даже при очень малых изменениях задержки t 2 этого сигнала. В самом деле, изменение фазы на 2p радиан происходит при изменении задержки t 2 на 1/f . Например, если несущая частота f c =900 МГц, то величина 1/f составляет всего 1,1 наносекунд, что соответствует изменению пути распространения сигнала на 33 см, то есть на длину волны. Таким образом, если разность хода между прямым и отраженным сигналами изменится всего на 16.5 см, разность фаз между ними изменится на 180 градусов. Этот пример показывает, что сигнал может испытывать глубокие и быстрые замирания даже при движении абонента со скоростью пешехода.