Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает. Привет студент. Вопросы на экзамен по курсу
Федеральное агентство по образованию и науке РФ
Костромской государственный технологический университет.
Кафедра высшей математики
по эконометрике на тему:
Мультиколлинеарность
Выполнила
студент 1 курса
заочного факультета
сп-ть «Бухгалтерский учёт,
анализ и аудит».
Проверила
Катержина С.Ф.
Кострома 2008 г
Мультиколлинеарность
Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Мультиколлинеарность может проявляться в функциональной (явной) и стохастической (скрытой) формах.
При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица X`X особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы, и её определитель равен нулю, т.е. нарушается предпосылка регрессионного анализа, это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.
Однако в экономических исследованиях мультиколлинеарность чаще проявляется в стохастической форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Матрица X`X в этом случае является неособенной, но её определитель очень мал.
В то же время вектор оценок b и его ковариционная матрица ∑ b пропорциональны обратной матрице (X`X) -1 , а значит, их элементы обратно пропорциональны величине определителя |X`X|. В результате получаются значительные средние квадратические отклонения (стандартные ошибки) коэффициентов регрессии b 0 , b 1 ,…,b p и оценка их значимости по t-критерию не имеет смысла, хотя в целом регрессионная модель может оказаться значимой по F-критерию.
Оценки становятся очень чувствительными к незначительному изменению результатов наблюдений и объёма выборки. Уравнения регрессии в этом случае, как правило, не имеют реального смысла, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения.
Точных количественных критериев для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Тем не менее, имеются некоторые эвристические подходы по её выявлению.
Один из таких подходов заключается в анализе корреляционной матрицы между объясняющими переменными X 1 ,X 2 ,…,X p и выявлении пар переменных, имеющих высокие переменные корреляции (обычно больше 0,8). Если такие переменные существуют, говорят о мультиколлинеарности между ними. Полезно также находить множественные коэффициенты детерминации между одной из объясняющих переменных и некоторой группой из них. Наличие высокого множественного коэффициента детерминации (обычно больше 0,6) свидетельствует о мультиколлинеарности.
Другой подход состоит в исследовании матрицы X`X. Если определитель матрицы X`X либо её минимальное собственное значение λ min близки к нулю (например одного порядка с накапливающимися ошибками вычислений), то это говорит о наличии мультиколлинеарности. о том же может свидетельствовать и значительное отклонение максимального собственного значения λ max матрицы X`X от её минимального собственного значения λ min .
Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности используется ряд методов. Самый простой из них (но далеко не всегда возможный) состоит в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной.
Другой метод устранения или уменьшения мультиколлинеарности заключается в переходе от несмещённых оценок, определённых по методу наименьших квадратов, к смещённым оценкам, обладающим, однако, меньшим рассеянием относительно оцениваемого параметра, т.е. меньшим математическим ожиданием квадрата отклонения оценки b j от параметра β j или M (b j - β j) 2 .
Оценки, определяемые вектором, обладают в соответствии с теоремой Гаусса-Маркова минимальными дисперсиями в классе всех линейных несмещённых оценок, но при наличии мультиколлинеарности эти дисперсии могут оказаться слишком большими, и обращение к соответствующим смещённым оценкам может повысить точность оценивания параметров регрессии. На рисунке показан случай, когда смещённая оценка β j ^ , выборочное распределение которой задаётся плотностью φ (β j ^).
Действительно, пусть максимально допустимый по величине доверительный интервал для оцениваемого параметра β j есть (β j -Δ, β j +Δ). Тогда доверительная вероятность, или надёжность оценки, определяемая площадью под кривой распределения на интервале (β j -Δ, β j +Δ), как нетрудно видеть из рисунка, будет в данном случае больше для оценки β j по сравнению с b j (на рисунке эти площади заштрихованы). Соответственно средний квадрат отклонения оценки от оцениваемого параметра будет меньше для смещённой оценки, т.е.:
M (β j ^ - β j) 2 < M (b j - β j) 2
При использовании «ридж-регрессии» (или «гребневой регрессии») вместо несмещённых оценок рассматривают смещённые оценки, задаваемые вектором
β τ ^ =(X`X+τ E p +1) -1 X`Y,
где τ – некоторое положительное число, называемое «гребнем» или «хребтом»,
E p +1 – единичная матрица (р+1) –го порядка.
Добавление τ к диагональным элементам матрицы X`X делает оценки параметров модели смещёнными, но при этом увеличивается определитель матрицы системы нормальных уравнений – вместо (X`X) от будет равен
|X`X+τ E p +1 |
Таким образом, становится возможным исключение мультиколлинеарности в случае, когда определитель |X`X| близок к нулю.
Для устранения мультиколлинеарности может быть использован переход от исходных объясняющих переменных X 1 ,X 2 ,…,X n , связанных между собой достаточно тесной корреляционной зависимостью, к новым переменным, представляющим линейные комбинации исходных. При этом новые переменные должны быть слабо коррелированными либо вообще некоррелированными. В качестве таких переменных берут, например, так называемые главные компоненты вектора исходных объясняющих переменных, изучаемые в компонентном анализе, и рассматривают регрессию на главных компонентах, в которой последние выступают в качестве обобщённых объясняющих переменных, подлежащих в дальнейшем содержательной (экономической) интерпритации.
Ортогональность главных компонент предотвращает проявление эффекта мультиколлинеарности. Кроме того, применяемый метод позволяет ограничиться малым числом главных компонент при сранительно большом количестве исходных объясняющих переменных.
Мультиколлинеарность - это понятие, которое используется для описания проблемы, когда нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными приводит к получению ненадежных оценок регрессии. Разумеется, такая зависимость совсем необязательно дает неудовлетворительные оценки. Если все другие условия благоприятствуют, т. е. если число наблюдений и выборочные дисперсии объясняющих переменных велики, а дисперсия случайного члена -мала, то в итоге можно получить вполне хорошие оценки.
Итак, мультиколлинеарность должна вызываться сочетанием нестрогой зависимости и одного (или более) неблагоприятного условия, и это - вопрос
степени выраженности явления, а не его вида. Оценка любой регрессии будет страдать от нее в определенной степени, если только все независимые переменные не окажутся абсолютно некоррелированными. Рассмотрение данной проблемы начинается только тогда, когда это серьезно влияет на результаты оценки регрессии.
Эта проблема является обычной для регрессий временных рядов, т. е. когда данные состоят из ряда наблюдений в течение какого-то периода времени. Если две или более независимые переменные имеют ярко выраженный временной тренд, то они будут тесно коррелированы, и это может привести к мультиколлинеарности.
Что можно предпринять в этом случае?
Различные методы, которые могут быть использованы для смягчения мультиколлинеарности, делятся на две категории: к первой категории относятся попытки повысить степень выполнения четырех условий, обеспечивающих надежность оценок регрессии; ко второй категории относится использование внешней информации. Если сначала использовать возможные непосредственно получаемые данные, то, очевидно, было бы полезным увеличить число наблюдений.
Если вы применяете данные временных рядов, то это можно сделать путем сокращения продолжительности каждого периода времени. Например, при оценивании уравнений функции спроса в упражнениях 5.3 и 5.6 можно перейти с использования ежегодных данных на поквартальные данные.
После этого вместо 25 наблюдений их станет 100. Это настолько очевидно и так просто сделать, что большинство исследователей, использующих временные ряды, почти автоматически применяют поквартальные данные, если они имеются, вместо ежегодных данных, даже если проблема мультиколлинеарности не стоит, просто для сведения к минимуму теоретических дисперсий коэффициентов регрессии. В таком подходе существуют, однако, и потенциальные проблемы. Можно привнести или усилить автокорреляцию, но она может быть нейтрализована. Кроме того, можно привнести (или усилить) смещение, вызванное ошибками измерения, если поквартальные данные измерены с меньшей точностью, чем соответствующие ежегодные данные. Эту проблему не так просто решить, но она может оказаться несущественной.
Мультиколлинеарность - это коррелированность двух или нескольких объясняющих переменных в уравнении регрессии. Она может быть функциональной (явной) и стохастической (скрытой). При функциональной мультиколлинеарности матрица ХТХ - вырождена и, (ХТХ)-1 не существует, поэтому невозможно определить. Чаще мультиколлинеарность проявляется в стохастической форме, при этом МНК - оценки формально существуют, но обладают рядом недостатков:
- 1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии;
- 2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (высокое значение R2);
- 3) расширяются интервальные оценки коэффициентов, ухудшая их точность;
- 4) возможно получение неверного знака у коэффициента регрессии.
Обнаружение
Существует несколько признаков, по которым может быть установлено наличие мультиколлинеарности.
Во-первых, анализ корреляционной матрицы парных коэффициентов корреляции:
- - если имеются пары переменных, имеющих высокие коэффициенты корреляции (> 0,75 - 0,8), говорят о мультиколлинеарности между ними;
- - если факторы некоррелированы, то det Q = 1, если полная корреляция, то det Q = 0.
Можно проверить Н0: det Q = 1; используя статистический критерий
где n - число наблюдений, m = р+1.
Если, то Н0 отвергается, и мультиколлинеарность доказана.
Во-вторых, определяют множественные коэффициенты детерминации одной из объясняющих переменных и некоторой группой других. Наличие высокого R2 (> 0,6) свидетельствует о мультиколлинеарности.
В третьих, близость к нулю - минимального собственного значения матрицы ХТХ (т.е. решения уравнения) свидетельствует о близости к нулю и det(XTX) и, следовательно, о мультиколлинеарности.
В-четвертых, высокие частные коэффициенты корреляции.
где - алгебраические дополнения элементов матрицы выборочных коэффициентов корреляции. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:
В-пятых, о присутствии мультиколлинеарности говорят некоторые внешние признаки построенной модели, являющиеся её следствиями. К ним следует отнести такие:
- · некоторые из оценок имеют неправильные с точки зрения экономической теории знаки или неоправданно большие по абсолютной величине значения;
- · небольшое изменение исходных статистических данных (добавление или изъятие некоторых наблюдений) приводит к существенному изменению оценок коэффициентов модели, вплоть до изменения их знаков;
- · большинство или даже все оценки коэффициентов регрессии оказываются статистически незначимыми по t-критерию, в то время как модель в целом является значимой по F-критерию.
Существует и ряд других методов определения мультиколлинеарности.
Если основная задача модели - прогноз будущих значений зависимой переменной, то при достаточно большом коэффициенте детерминации R2 (> 0,9) наличие мультиколлинеарности обычно не сказывается на прогнозных качествах модели. Это утверждение будет обоснованным, если и в будущем между коррелированными переменными сохранятся те же соотношения.
Если целью исследования является определение степени влияния каждой из объясняющих переменных на зависимую переменную, то наличие мультиколлинеарности, приводящее к увеличению стандартных ошибок, скорее всего, исказит истинные зависимости между переменными. В этой ситуации мультиколлинеарность является серьезной проблемой.
На практике при количественной оценке параметров эконометрической модели довольно часто сталкиваются с проблемой взаимосвязи между объясняющими переменными. Если взаимосвязь довольно тесная, то оценка параметров модели может иметь большую погрешность. Такая взаимосвязь между объясняющими переменными называется мультиколлинеарностью . Проблема мультиколлинеарности возникает только для случая множественной регрессии, поскольку в парной регрессии одна объясняющая переменная. Оценка коэффициента регрессии может оказаться незначимой не только из-за несущественности данного фактора, но и из-за трудностей, возникающих при разграничении воздействия на зависимую переменную двух или нескольких факторов. Это проявляется, когда факторы изменяются синхронно. Связь зависимой переменной с изменениями каждого из них можно определить, только если в число объясняющих переменных включается только один из этих факторов.
Природа мультиколлинеарности нагляднее всего проявляется, когда между объясняющими переменными существует строгая линейная связь. Это строгая мультиколлинеарность, когда невозможно разделить вклад каждой переменной в объяснение поведения результативного показателя. Чаще встречается нестрогая, или стохастическая мультиколлинеарность, когда объясняющие переменные коррелированы между собой. В этом случае проблема возникает только тогда, когда взаимосвязь переменных влияет на результаты оценки регрессии.
Основные последствия мультиколлинеарности:
· понижается точность оценки параметров регрессии, что проявляется в трех аспектах:
Ошибки некоторых оценок становятся очень большими;
Эти ошибки сильно коррелированными друг с другом;
Выборочные дисперсии сильно возрастают;
· коэффициенты некоторых введенных в регрессию переменных оказываются незначимыми, но в силу экономических соображений именно эти переменные должны оказывать заметное влияние объясняемую переменную;
· оценки коэффициентов становятся очень чувствительными к выборочным наблюдениям (небольшое увеличение объема выборки приводит к очень сильным сдвигам в значениях оценок).
Причины возникновения мультиколлинеарности:
· в модель включены факторные признаки, характеризующие одну и ту же сторону явления;
· уравнение регрессии содержит в качестве факторных признаков такие показатели, суммарное значение которые представляет собой постоянную величину;
· в модели использованы факторные признаки, являющиеся составными элементами друг друга;
· в моделирующую функцию включены факторные признаки, по смыслу дублирующие друг друга.
Проблема мультиколлинеарности является обычной для регрессии временных рядов, т.е. когда данные состоят из ряда наблюдений в течение некоторого периода времени. Если две или более объясняющие переменные имеют ярко выраженной временной тренд, то они будут тесно коррелированы, и это может привести к мультиколлинеарности.
Если среди парных коэффициентов корреляции независимых переменных существуют такие, значение которых приближается или равно множественному коэффициенту корреляции, то это говорит о возможности существования мультиколлинеарности.
Если в эконометрической модели получено малое значение параметра при большом коэффициенте детерминации и при этом -критерий существенно отличается от нуля, то это говорит о наличии мультиколлинеарности.
Методы исследования мультиколлинеарности
· нахождение и анализ корреляционной матрицы
Стохастическая связь между переменными характеризуется величиной коэффициента корреляции между ними. Чем ближе по абсолютной величине значение коэффициента корреляции к единице, тем сильнее мультиколлинеарность. В общем случае, если при оценке уравнения регрессии несколько факторов оказались незначимыми, то нужно выяснить нет ли среди них коррелированных между собой. Для этого формируется матрица коэффициентов парной корреляции, которая является симметричной и называется корреляционной матрицей. Она имеет вид:
где - коэффициенты парной корреляции между переменной у и одним из факторов, - коэффициенты парной корреляции между факторами, которые вычисляются по формуле
Анализ корреляционной матрицы позволяет оценить, во-первых, степень влияния отдельных факторов на результативный показатель, во-вторых, взаимосвязь факторов между собой.
Если коэффициенты парной корреляции между некоторыми факторами близки к единице, это указывает на тесную взаимосвязь между ними, т.е. на наличие мультиколлинеарности. В этом случае один из факторов необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения. Встает вопрос, какой именно. Это зависит от конкретной ситуации. Чаще всего для моделирования оставляют тот фактор, который с экономической точки зрения более весом для изучаемого процесса. Можно также оставить фактор, который имеет большее влияние на результативный показатель (т.е. коэффициент корреляции которого с результативным показателем больше). Такого рода анализ проводится для каждой пары факторов. Результатом анализа корреляционной матрицы является установление группы факторов, мало зависимых между собой – они и должны входить в модель.
· вычисление определителя корреляционной матрицы
Если в модели больше двух факторов, вопрос о мультиколлинеарности не может ограничиваться информацией, которую дает корреляционная матрица. Более широкая проверка предусматривает вычисление определителя матрицы , . Если , то существует полная мультиколлинеарность. Если , то мультиколлинеарности нет. Чем ближе к нулю, тем увереннее можно утверждать о существовании между переменными мультиколлинеарности.
· метод Феррара-Глаубера
Для исследования общей мультиколлинеарности и мультиколлинеар-ности между отдельными факторами используется корреляционная матрица , вычисляемая по формуле (3.3.2).
Для исследования общей мультиколлинеарности используется критерий . Рассчитывается величина
имеющая - распределение с степенями свободы.
По данной надёжности и числу степеней свободы находят табличное значение (приложение А). Если , то можно считать, что мультиколлинеарность между объясняющими переменными отсутствует.
Для выяснения вопроса, между какими факторами существует мультиколлинеарность, используется -статистика или -статистика. Для этой цели используют частные коэффициенты парной корреляции между объясняющими переменными, которые вычисляют по формуле
где – элементы обратной матрицы .
В качестве критерия используется величина
имеющая распределение Стьюдента с степенями свободы.
По таблицам Стьюдента (приложение Д) находят критическое значение . Сравнивают критическое значение с расчетным :
· если , то между объясняющими переменными и коллинеарности нет.
· если , то между объясняющими переменными и существует значительная коллинеарность..
Методы устранения мультиколлинеарности
Если мультиколлинеарность выявлена, необходимо предпринять ряд мер по ее уменьшению и возможному устранению. Необходимо знать, что безошибочных и абсолютно правильных рекомендаций нет, это процесс творческого поиска. Все зависит от степени мультиколлинеарности, от набора факторов, от характера данных.
Различные методы, которые могут быть использованы для смягчения мультиколлинеарности, связаны с информационной базой и делятся на две категории. К первой относятся попытки повысить степень надежности оценок регрессии – увеличить число наблюдений в выборке, за счет сокращения временного периода увеличить дисперсию объясняющих переменных и снизить вариацию случайного числа, уточнить набор объясняющих переменных, включаемых в модель. Ко второй категории относится использование внешней информации, т.е. сбор дополнительных данных и оценок.
· метод исключения переменных
Этот метод заключается в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные устраняются из регрессии, и она заново оценивается. Отбор переменных, подлежащих исключению, производится с помощью коэффициентов корреляции. Для этого производится оценка значимости коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными и . Если , то одну из переменных можно исключить. Но какую переменную удалить из анализа, решают исходя из экономических соображений.
· метод линейного преобразования переменных
Этот метод устранения мультиколлинеарности заключается в переходе к регрессии приведенной формы путем замены переменных, которым присуща коллинеарность, их линейной комбинацией. Если между двумя факторами и существует мультиколлинеарность, то заменяют фактор после чего проверяют наличие мультиколлинеарности между факторами и . При отсутствии мультиколлинеарности вместо фактора рассматривается фактор .
· метод пошаговой регрессии
Процедура применения пошаговой регрессии начинается с построения простой регрессии. В анализ последовательно включают по одной объясняющей переменной. На каждом шаге проверяется значимость коэффициентов регрессии и оценивается мультиколлинеарность переменных. Если оценка коэффициента получается незначимой, то переменная исключается и рассматривают другую объясняющую переменную. Если оценка коэффициента регрессии значима, а мультиколлинеарность отсутствует, то в анализ включают следующую переменную. Таким образом, постепенно определяются все составляющие регрессии без нарушения положения об отсутствии мультиколлинеарности.
Меры по устранению мультиколлинеарности:
· необходимо изменить спецификацию модели так, чтобы коллинеарность переменных снизилась до допустимого уровня;
· необходимо применить методы оценки, которые, несмотря на существенную коллинеарность, позволяют избежать ее отрицательных последствий. К этим методам оценивания относятся: методы с ограничениями на параметры (смешанный оценщик и минимальный оценщик), метод главных компонент, двухшаговый МНК, метод инструментальных переменных, метод наибольшего правдоподобия.
Как уже было показано, устранение мультиколлинеарности может достигаться путем исключения одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков. Вопрос о том, какой из факторов следует отбросить, решается на основании экономического, логического, качественного анализа явления. Иногда удается уменьшить мультиколлинеарность путем агрегирования или преобразования исходных факторных признаков. В частности, это может быть объединение межотраслевых показателей с рядами динамики или, например, можно перейти к первым разностям и находить уравнение регрессии для разностей.
Хотя надежных методов выявления коллинеарности не существует, есть несколько признаков, ее выявляющих:
· характерным признаком мультиколлинеарности является высокое значение коэффициента детерминации при незначимости параметров уравнения (по t -статистикам);
· в модели с двумя переменными наилучшим признаком мультиколлинеарности является значение коэффициента корреляции;
· в модели с большим числом (чем два) факторов коэффициент корреляции может быть низким из-за наличия мультиколлинеарности, следует брать во внимание частные коэффициенты корреляции;
· если коэффициент детерминации велик, а частные коэффициенты малы, то мультиколлинеарность возможна
Пример 3.6. Исследовать данные на мультиколлинеарность; если обнаружена мультиколлинеарность объясняющих переменных, то исключить из рассмотрения переменную, которая коррелирует с остальными объясняющими переменными.
| Y | 17,44 | 17,28 | 17,92 | 18,88 | 17,12 | 21,12 | 20,64 | 19,68 | 18,4 | |
| Х 1 | 22,95 | 24,84 | 29,97 | 28,08 | 24,3 | 32,4 | 29,97 | 33,48 | 29,7 | 26,73 |
| Х 2 | 1,56 | 2,88 | 2,28 | 1,2 | 2,64 | 3,48 | 2,28 | 2,52 | 2,4 | |
| Х 3 | 2,8 | 1,148 | 2,66 | 1,96 | 0,77 | 2,38 | 3,36 | 2,17 | 2,24 | 2,03 |
Решение. Для исследования общей мультиколлинеарности применим метод Фаррара-Глаубера.
Для нахождения корреляционной матрицы R построим вспомогательную таблицу 3.13.
Таблица 3.13
Расчет элементов корреляционной матрицы
| 17,44 | 22,95 | 2,8 | 526,70 | 9,00 | 7,84 | 68,85 | 64,26 | 8,40 | 22,95 | 2,8 | 304,15 | ||
| 17,28 | 24,84 | 1,56 | 1,14 | 617,03 | 2,43 | 1,32 | 38,75 | 28,52 | 1,79 | 24,84 | 1,56 | 1,14 | 298,60 |
| 17,92 | 29,97 | 2,88 | 2,66 | 898,20 | 8,29 | 7,08 | 86,31 | 79,72 | 7,66 | 29,97 | 2,88 | 2,66 | 321,13 |
| 18,88 | 28,08 | 2,28 | 1,96 | 788,49 | 5,20 | 3,84 | 64,02 | 55,04 | 4,47 | 28,08 | 2,28 | 1,96 | 356,45 |
| 17,12 | 24,3 | 1,2 | 0,77 | 590,49 | 1,44 | 0,59 | 29,16 | 18,71 | 0,92 | 24,3 | 1,2 | 0,77 | 293,09 |
| 21,12 | 32,4 | 2,64 | 2,38 | 1049,76 | 6,97 | 5,66 | 85,54 | 77,11 | 6,28 | 32,4 | 2,64 | 2,38 | 446,05 |
| 29,97 | 3,48 | 3,36 | 898,20 | 12,11 | 11,29 | 104,3 | 100,7 | 11,69 | 29,97 | 3,48 | 3,36 | 400,00 | |
| 20,64 | 33,48 | 2,28 | 2,17 | 1120,91 | 5,20 | 4,71 | 76,33 | 72,65 | 4,95 | 33,48 | 2,28 | 2,17 | 426,01 |
| 19,68 | 29,7 | 2,52 | 2,24 | 882,09 | 6,35 | 5,02 | 74,84 | 66,53 | 5,64 | 29,7 | 2,52 | 2,24 | 387,30 |
| 18,4 | 26,73 | 2,4 | 2,03 | 714,49 | 5,76 | 4,12 | 64,15 | 54,26 | 4,87 | 26,73 | 2,4 | 2,03 | 338,56 |
| 188,48 | 282,42 | 24,24 | 21,52 | 8086,36 | 62,76 | 51,47 | 692,26 | 617,5 | 56,68 | 282,42 | 24,24 | 21,5 | 3571,35 |
| 18,848 | 28,24 | 2,42 | 2,15 | 808,64 | 6,28 | 5,15 | 69,23 | 61,75 | 5,67 | 28,24 | 2,424 | 2,15 | 357,13 |
В предпоследней строке таблицы 3.12 указаны суммы по столбцам, а в последней – средние значения по столбцам.
Найдем средние квадратические отклонения:
Аналогично имеем , , .
Найденные значения средних квадратических отклонений подставим в формулы (3.3.3) для вычисления парных коэффициентов корреляции:
Аналогично , , , , .
Можно сделать вывод о наличии определенной связи между каждой парой факторов. Для данной задачи корреляционная матрица (3.3.1) имеет вид:
Найдем определитель корреляционной матрицы :
Значение определителя корреляционной матрицы близко к нулю, что свидетельствует о наличии значительной мультиколлинеарности.
. и существует мультиколлинеарность и одна из переменных должна быть исключена. Исключим из рассмотрения переменную , поскольку .ВОПРОСЫ НА ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ
«ЭКОНОМЕТРИКА (продвинутый уровень)»
1. Модель множественной регрессии. Виды моделей множественной регрессии.
2. Матричная форма записи и матричная формула оценки параметров множественной регрессии.
3. Оценка качества уравнения регрессии. Объясненная и необъясненная составляющие уравнения регрессии.
4. Коэффициент детерминации и коэффициент корреляции, их расчет в модели парной регрессии.
5. Выборочный множественный коэффициент детерминации и проверка его значимости по -критерию Фишера.
6. Проверка значимости множественного уравнения регрессии с помощью -критерия Фишера.
Значимость уравнения регрессии, т.е. соответствие эконометрической модели Y = a ˆ0 + a ˆ 1X + e фактическим (эмпирическим) данным, позволяет ус-
тановить, пригодно ли уравнение регрессии для практического использования (для анализа и прогноза), или нет.
Для проверки значимости уравнения используется F - критерий Фишера. Он вычисляется по фактическим данным как отношение несмещенной
дисперсии остаточной компоненты к дисперсии исходного ряда. Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется с помощью -критерия Фишера, расчетное значение которого находится по формуле:
,
где коэффициент множественной корреляции, – количество наблюдений, - количество переменных, – диагональный элемент матрицы .
Для проверки гипотезы по таблице определяют табличное значение
критерия Фишера F .
F(α ν1 ν2) – это максимально возможное значение критерия в зависимости от влияния случайных факторов при данных степенях свободы
ν = m1 , ν2 = n − m −1, и уровне значимости α . Здесь m – количество аргументов в модели.
Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу, но при условии, что она верна (ошибка первого рода). Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
Если F ф> F табл, то H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если наоборт, то гипотеза H0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
7. Оценка значимости линейных коэффициентов корреляции. -критерий Стьюдента.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции рассчитывается t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза H 0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Наблюдаемые значения t-критерия рассчитываются по формулам:
| , , , |
где – случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции.
Для линейной парной регрессии выполняется равенство , поэтому проверки гипотез о значимости коэффициента регрессии при факторе и коэффициента корреляции равносильны проверке гипотезы о статистической значимости уравнения регрессии в целом.
Вообще, случайные ошибки рассчитываются по формулам:
, ,  .
|
где – остаточная дисперсия на одну степень свободы:
 .
|
Табличное (критическое) значение t-статистики находят по таблицам распределения t-Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы . Если t табл < t факт, то H 0 отклоняется, т.е. коэффициенты регрессии не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора.
8. Анализ влияния факторов на основе многофакторных регрессионных моделей: коэффициент эластичности ; бета-коэффициент и дельта-коэффициент .
9. Способы расчета параметров , , производственной функции Кобба-Дугласа.
10. Регрессионные уравнения с переменной структурой. Фиктивные переменные. Виды фиктивных переменных. Преимущества использования фиктивных переменных при построении регрессионных моделей.
11. Использование фиктивных переменных для исследования структурных изменений. Моделирование сезонности. Количество бинарных переменных при k градациях.
Понятие мультиколлинеарности. Методы обнаружения и устранения мультиколлинеарности.
Количественная оценка параметров уравнения регрессии предполагает выполнение условия линейной независимости между независимыми переменными. Однако на практике объясняющие переменные часто имеют высокую степень взаимосвязи между собой, что является нарушением указанного условия. Данное явление носит название мультиколлинеарности.
Термин коллинеарность (collinear ) обозначает линейную корреляцию между двумя независимыми переменными, а Мультиколлинеарность (multi-collinear ) – между более чем двумя независимыми переменными. Обыкновенно под мультиколлинеарностью понимают оба случая.
Таким образом, мультиколлинеарность означает наличие тесной линейной зависимости или сильной корреляции между двумя или более объясняющими (независимыми) переменными. Одной из задач эконометрии является выявление мультиколлинеарности между независимыми переменными.
Различают совершенную и несовершенную мультиколлинеарность. Совершенная мультиколлинеарность означает, что вариация одной из независимых переменных может быть полностью объяснена изменением другой (других) переменной.
Иначе, взаимосвязь между ними выражается линейной функцией
Графическая интерпретация данного случая:
Несовершенная мультиколлинеарность может быть определена как линейная функциональная связь между двумя или более независимыми переменными, которая настолько сильна, что может существенно затронуть оценки коэффициентов при переменных в модели.
Несовершенная мультиколлинеарность возникает тогда, когда две (или более) независимые переменные находятся между собой в линейной функциональной зависимости, описываемой уравнением
В отличие от ранее рассмотренного уравнения, данное включает величину стохастической ошибки . Это предполагает, что несмотря на то, что взаимосвязь между и может быть весьма сильной, она не настолько сильна, чтобы полностью объяснить изменение переменной изменением , т.е. существует некоторая необъяснимая вариация.
Графически данный случай представлен следующим образом:
 |
В каких же случаях может возникнуть мультиколлинеарность? Их, по крайней мере, два.
1. Имеет место глобальная тенденция одновременного изменения экономических показателей. В качестве примера можно привести такие показатели как объем производства, доход, потребление, накопление, занятость, инвестиции и т.п., значения которых возрастают в период экономического роста и снижаются в период спада.
Одной из причин мультиколлинеарности является наличие тренда (тенденции) в динамике экономических показателей.
2. Использование лаговых значений переменных в экономических моделях.
В качестве примера можно рассматривать модели, в которых используются как величины дохода текущего периода, так и затраты на потребление предыдущего.
В целом при исследовании экономических процессов и явлений методами эконометрии очень трудно избежать зависимости между показателями.
Последствия мультиколлинеарности сводятся к
1. снижению точности оценивания, которая проявляется через
a. слишком большие ошибки некоторых оценок,
b. высокую степень корреляции между ошибками,
c. Резкое увеличение дисперсии оценок параметров. Данное проявление мультиколлинеарности может также отразиться на получении неожиданного знака при оценках параметров;
2. незначимости оценок параметров некоторых переменных модели благодаря, в первую очередь, наличию их взаимосвязи с другими переменными, а не из-за того, что они не влияют на зависимую переменную. То есть -статистика параметров модели не отвечает уровню значимости ( -критерий Стьюдента не выдерживает проверки на адекватность);
3. сильному повышению чувствительности оценок параметров к размерам совокупности наблюдений. То есть увеличение числа наблюдений существенно может повлиять на величины оценок параметров модели;
4. увеличению доверительных интервалов;
5. повышению чувствительности оценок к изменению спецификации модели (например, к добавлению в модель или исключению из модели переменных, даже несущественно влияющих).
Признаки мультиколлинеарности:
1. когда среди парных коэффициентов корреляции
между объясняющими (независимыми) переменными есть такие, уровень которых либо приближается, либо равен коэффициенту множественной корреляции.
Если в модели более двух независимых переменных, то необходимо более детальное исследование взаимосвязей между переменными. Данная процедура может быть осуществлена с помощью алгоритма Фаррара-Глобера;
2. когда определитель матрицы коэффициентов парной корреляции между независимыми переменными приближается к нулю:
если , то имеет место полная мультиколлинеарность,
если , то мультиколлинеарность отсутствует;
3. если в модели найдено маленькое значение параметра при высоком уровне коэффициента частной детерминации и при этом -критерий существенно отличается от нуля;
Мультиколлинеарность означает, что в множественной регрессионной модели две или большее число независимых переменных (факторов) связаны между собой тесной линейной зависимостью или, другими словами, имеют высокую степень корреляции ().
Последствия мультиколлинеарности:
1. Первым практическим последствием мультиколлинеарности является большая дисперсия и ковариация оценок параметров, вычисленных методом наименьших квадратов.
2. Вторым практическим последствием мультиколлинеарности является увеличение доверительных интервалов теоретических коэффициентов уравнения линейной регрессии.
3. Уменьшается статистика коэффициентов, поэтому возможен вывод о статистической незначимости коэффициента.
4. Коэффициенты уравнения регрессии становятся очень чувствительными к малейшим изменениям данных.
5. Затрудняется определение вклада каждой из переменных в объясняемую уравнением дисперсию признака.
К сожалению, нет единого подхода для определения мультиколлинеарности. Приведем несколько методов тестирования наличия мультиколлинеарности.
1) Высокое значение коэффициента детерминации и низкие статистики некоторых переменных.
2) Высокие значения частных коэффициентов корреляции. Однако это условие является достаточным, но не является необходимым условием наличия мультиколлинеарности. Она может иметь место даже при относительно небольших значениях коэффициентов корреляции, когда число факторов больше двух.
3) тест Фаррара–Глобера.
Этот тест имеет и другое название: построение вспомогательной регрессии.
Коэффициент детерминации является коэффициентом детерминации в уравнении регрессии, которое связывает фактор с остальными факторами Например, .является коэффициентом детерминации такой регрессии:
Для каждого коэффициента детерминации рассчитываем отношение:
Тест проверяет гипотезу
при конкурирующей гипотезе
Вычисленное значение сравниваем с критическим значением , найденным по таблицам распределения Фишера с и степеням свободы и заданным уровнем значимости. Если то отвергаем нулевую гипотезу и считаем, что фактор является мультиколлинеарным; если то нулевую гипотезу принимаем и убеждаемся, что фактор не является мультиколлинеарным.
Для устранения мультиколлинеарности существует несколько способов.
Первый способ. Если между двумя факторами и существует мультиколлинеарность, то один из факторов исключается из рассмотрения.
