Пусть в матрице А размеров (m; n) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k ≤ min(m; n)). Элементы матрицы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором M kk порядка k y или минором k-го порядка матрицы A.

Рангом матрицы называется максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A, а любой минор порядка r, отличный от нуля, — базисным минором. Обозначение: rang A = r. Если rang A = rang B и размеры матриц A и Bсовпадают, то матрицы A и B называются эквивалентными. Обозначение: A ~ B.

Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод окаймляющих миноров и метод .

Метод окаймляющих миноров

Суть метода окаймляющих миноров состоит в следующем. Пусть в матрице уже найден минор порядка k, отличный от нуля. Тогда далее рассматриваются лишь те миноры порядка k+1, которые содержат в себе (т. е. окаймляют) минорk-го порядка, отличный от нуля. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров (k+1)-го порядка найдется отличный от нуля и вся процедура повторяется.

Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости ее строк (столбцов).

Строки матрицы :

называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , λ k , что справедливо равенство:

Строки матрицы A называются линейно независимыми, если вышеприведённое равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Аналогичным образом определяется линейная зависимость и независимость столбцов матрицы A.

Если какая-либо строка (a l) матрицы A (где (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) может быть представлена в виде

Аналогичным образом определяется понятие линейной комбинации столбцов. Справедлива следующая теорема о базисном миноре.

Базисные строчки и базисные столбцы линейно независимы. Любая строка (либо столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (столбцов), т. е. строк (столбцов), пересекающих базисный минор. Таким образом, ранг матрицы A: rang A = k равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.

Т.е. ранг матрицы — это размерность самой большой квадратной матрицы внутри той матрицы, для которой нужно определить ранг, для которой определитель не равен нулю. Если исходная матрица не является квадратной, либо если она квадратная, но её определитель равен нулю, то для квадратных матриц меньшего порядка строки и столбцы выбираются произвольно.

Кроме как через определители, ранг матрицы можно посчитать по числу линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он равен количеству линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, чего меньше. Например, если матрица имеет 3 линейно независимых строки и 5 линейно независимых столбцов, то её ранг равняется трём.

Примеры нахождения ранга матрицы

Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Минор второго порядка

окаймляющий минор M 2 , также отличен от нуля. Однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие M 3 .

равны нулю. Поэтому ранг матрицы A равен 3, а базисным минором является, например, представленный выше минор M 3 .

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, можно привести матрицу к виду, когда все её элементы, кроме a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)), равны нулю. Это, очевидно, означает, что rang A = r. Заметим, что если матрица n-го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, то её определитесь равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство можно использовать при вычислении ранга матрицы методом элементарных преобразований: необходимо с их помощью привести матрицу к треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдём, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля.

Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Обозначим i-ю строку матрицы A символом α i . На первом этапе выполним элементарные преобразования

На втором этапе выполним преобразования

В результате получим

Обратная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы.

Система линейных алгебраических уравнений, основные свойства слау, однородность и неоднородность, совместность и несовместность, определенность слау, матричная форма записи слау и ее решения

Квадратные системы, метод Крамера

Элементарные преобразования слау. Метод Гаусса исследования слау.

Критерий совместности слау, теорема Кронекера-Капелли, геометрическая интерпретация на примере 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.

Однородные слау. Свойство решений, фср, теорема об общем решении однородной системы. Критерий существования нетривиального решения.

Неоднородные слау. Теорема о структуре решения неоднородной слау. Алгоритм решения неоднородной слау.

Определение линейного (векторного) пространства. Примеры лп.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости.

Достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости систем векторов лп. Примеры линейно независимых систем в пространствах строк, многочленов, матриц.

Изоморфизм лп. Критерий изоморфности лп.

Подпространство лп и линейные оболочки систем векторов. Размерность линейной оболочки.

Теорема о пополнении базиса

Пересечение и сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.

Подпространство решений однородной слау, его размерность и базис. Выражение общего решения однородной слау через фср.

Матрица перехода от одного базиса лп к другому и ее свойства. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

Определение и примеры линейных операторов, линейные отображения и линейные преобразования

Матрица линейного оператора, нахождение координат образа вектора

Действия с линейными операторами. Линейное пространство ло

Теорема об изоморфности множества линейных преобразований множеству квадратных матриц

Матрица произведения линейных преобразований. Примеры нахождение матриц операторов.

Определение и свойства обратного оператора, его матрица.

Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.

Определитель и характеристический многочлен линейного оператора, их инвариантность по отношению к преобразованиям базиса.

Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме размерностей ядра и образа. Нахождение ядра и образа линейного оператора в фиксированном базисе. Ранг и дефект линейного оператора.

Теорема инвариантности ядра и образа ло а относительно перестановочного с ним ло в

Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений и их взаимосвязь.

Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора, достаточные условия диагонализируемости линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли

Линейная алгебра

Теория слау

1. Матрицы, действия с матрицами, обратная матрица. Матричные уравнения и их решения.

Матрица – прямоугольная таблица произвольных чисел, расположенных в определенном порядке, размером m*n (строк на столбцы). Элементы матрицы обозначаются, где i – номер строки, аj – номер столбца.

Сложение (вычитание) матриц определены только для одноразмерных матриц. Сумма(разность) матриц – матрица, элементы которой являются соответственно сумма(разность) элементов исходных матриц.

Умножение (деление) на число – умножение (деление) каждого элемента матрицы на это число.

Умножение матриц определено только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Умножение матриц – матрица, элементы которых задаются формулами:

Транспонирование матрицы – такая матрицаB, строки (столбцы) которой являются столбцами (строками) в исходной матрицеA. Обозначается

Обратная матрица

Матричные уравнения – уравнения видаA*X=B есть произведение матриц, ответом на данное уравнение является матрицаX, которая находится с помощью правил:

1. Линейная зависимость и независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости, достаточные условия линейной зависимости столбцов (строк) матрицы.

Система строк (столбцов) называется линейно независимой , если линейная комбинация тривиальна (равенство выполняется только приa1…n=0), гдеA1…n – столбцы(строки), аa1…n – коэффициенты разложения.

Критерий : для того, что бы система векторов была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы.

Достаточное условие :

1. Определители матрицы и их свойства

Определитель матрицы (детерминанта) – такое число, которое для квадратной матрицыA может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

, где - дополнительный минор элемента

Свойства:

1. Обратная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы.

Обратная матрица – такая квадратная матрицаX,которая вместе с квадратной матрицей A того же порядка, удовлевторяет условию:, гдеE – единичная матрица, того же порядка что иA. Любая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет 1 обратную матрицу. Находится с помощью метода элементарных преобразований и с помощью формулы:

Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Критерий равенства нулю определителя матрицы. Элементарные преобразования матриц. Вычисления ранга методом элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Ранг матрицы – порядок базисного минора (rg A)

Базисный минор – минор порядкаr не равный нулю, такой что все миноры порядка r+1 и выше равны нулю или не существуют.

Теорема о базисном миноре - В произвольной матрице А каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Доказательство: Пусть в матрицеAразмеров m*n базисный минор расположен в первых r строках и первых r столбцах. Рассмотрим определитель, который получен приписыванием к базисному минору матрицы А соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца.

Отметим, что при любых иэтот определитель равен нулю. Еслиили, то определительD содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если жеи, то определитель D равен нулю, так как является минором (r+λ)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем:, где- алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что, так как это базисный минор. Поэтому, гдеЗаписывая последнее равенство для, получаем, т.е. k-й столбец (при любом) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Критерий d etA=0 – Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки(столбцы) линейно зависимы.

Элементарные преобразования :

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Вычисление ранга – Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк(столбцов в матрице), следовательно задача элементарных преобразований найти все линейно независимые строки (столбцы).

Вычисление обратной матрицы ­ - Преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц: TA = E.

Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы . Тогдаи, следовательно,

Линейная независимость строк матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Где . (1.1)

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

6, 13,14,15,16. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n -мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными .

Если начало и конец вектора совпадают (), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю:

1) Произведением вектора на число :

Будет вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

2) Противоположным вектором -называется произведение вектора -на число (-1), т.е. -=.

3) Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

4) Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора -, противоположного .

Скалярное произведение

Определение : Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

n-мерный вектор и векторное пространство

Определение . n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х 1 ,х 2 ,…,х n) , где х i – i -я компонента вектора х .

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х 1 ,х 2 ,…,х n), а соответствующие цены у = (у 1 ,у 2 ,…,у n).

- Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у , если х i = у i , i = 1,2,…,n .

- Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z i = x i + y i , i = 1,2,…,n .

- Произведением вектора х на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. , i = 1,2,…,n .

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение . Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием .

Размеренность и базис векторного пространства

Определение . Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом .

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение . Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А ), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

Где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

Или , или , откуда находим: , или

Или .

Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично, вектор .

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

,

где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.

Краткая запись: ().

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

Запишем систему в матричной форме:

Обозначим: , где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.

Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:

Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .

Теорема Крамера . Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Формула Крамера.

Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Р е ш е н и е . Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:

По формулам Крамера:

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

.

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы .

Шаг 1 . Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули. .

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае - это значит выразить и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.

Выразим базисные переменные через свободные.

Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :

Из первой строки выразим : ,

Общее решение системы уравнений: , .

Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу А размера mxn.

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.

Обозначим стоки матрицы А:

е 1 =(а 11 ,а 12 ,…,а 1n); е 2 =(а 21 ,а 22 ,…,а 2n);…, е m =(а m1 ,а m2 ,…,а mn)

e k =e s если a kj =a sj , j=1,2,…,n

Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].

Строка е называется линейной комбинацией строк е 1 , е 2 ,…,е k , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

е=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ k е k

Строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно зависимыми , если существуют действительные числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ m е m =0 ,где0 =(0,0,…,0) (1)

Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i равны нулю (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), то строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно независимыми.

Теорема 1 . Для того, чтобы строки е 1 ,е 2 ,…,е m были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство . Необходимость . Пусть строки е 1 , е 2 ,…,е m линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1) λ m ≠0, тогда

Т.о. строка е m является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.

Достаточность . Пусть одна из строк, например е m , является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,

где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.

Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤min(m,n)). .

Пример. , миноры 1-го порядка: =, =;

миноры 2-го порядка: , 3-го порядка

У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение - rg A или r(A).

Свойства ранга матрицы .

1) ранг матрицы A nxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.

(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).

4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.

Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min{r(A),r(B)};

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), если В - квадратная невырожденная матрица.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором . (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами .

Теорема 2 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрица А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство . (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.

Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы

А=, т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£j£n, 1£i£m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка

Если j£r или i£r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Если же j>r и i>r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, где последнее алгебраическое дополнение A ij совпадает с базисным минором М r и поэтому A ij = М r ≠0.

Разделив последнее равенство на A ij , можем выразить элемент a ij , как линейную комбинацию: , где .

Зафиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2,…,n) элементы i-й строки e i линейно выражаются через элементы строк е 1 , е 2 ,…,е r , т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.

Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Доказательство (с.40) . Необходимость . Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r

Т.о., одна строка является линейной комбинацией других остальных. Тогда по теореме 1 строки определителя линейно зависимы.

Достаточность . Если строки D линейно зависимы, то по теореме 1 одна строка А i является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А i указанную линейную комбинацию, не изменив величины D, получим нулевую строку. Следовательно, по свойствам определителей, D=0. ч.т.д.

Теорема 4. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство . Как было показано при рассмотрении свойств определителей, при преобразованиях квадратных матриц их определители либо не изменяются, либо умножаются на ненулевое число, либо меняют знак. При этом наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы сохраняется, т.е. ранг матрицы не изменяется. Ч.т.д.

Если r(A)=r(B), то А и В –эквивалентные: А~В.

Теорема 5. При помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду. Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:

А=, где a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Условия r≤k всегда можно достигнуть транспонированием.

Теорема 6. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Т.е. Ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. есть отличный от нуля минор порядка r:

Каждую строку матрицы А обозначим е i = (a i 1 a i 2 …, a in) (например,
е 1 = (a 11 a 12 …, a 1 n), е 2 = (a 21 a 22 …, a 2 n) и т.д.). Каждая из них представляет собой матрицу-строку, которую можно умножить на число или сложить с другой строкой по общим правилам действий с матрицами.

Линейной комбинацией строк e l , e 2 ,...e k называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , где l l , l 2 ,..., l k - произвольные числа (коэффициенты линейной комбинации).

Строки матрицы e l , e 2 ,...e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа l l , l 2 ,..., l m , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, где 0 = (0 0...0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент l m ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на l m , получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, то строки называют линейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.

Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным . Пусть для определенности это минор

Строки этого минора также будем называть базисными .

Докажем, что тогда строки матрицы e l , e 2 ,...e r линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на l l , элементы 2-й строки, умноженные на l 2 , и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на l r-1 , то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.

Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.

Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю.