Реклама на портале

Элементы теории синтеза линейных частотных фильтров. Р. Г. Гареева синтез линейных частотных фильтров. Основные принципы проектирования фильтров

Теорию цепей принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, - анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних характеристик электрической цепи, структура которой задана заранее, например в виде принципиальной схемы. Задача синтеза цепи диаметрально противоположна - внешняя характеристика, такая, как частотный коэффициент передачи напряжения, входное или выходное сопротивление и т. д., считается известной. Требуется найти структуру цепи, реализующую эту характеристику.

В отличие от анализа синтез цепи, как правило, является неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в некотором определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номиналов входящих в нее элементов.

Синтез цепей является развитой областью современной теоретической радиотехники. Разработан целый ряд методов синтеза, порой весьма сложных, с которыми читатель может познакомиться самостоятельно . Методы синтеза цепей приобрели исключительно большое значение в связи с внедрением систем автоматизированного проектирования радиотехнических устройств на ЭВМ.

В данной главе будет изучаться простейшая задача синтеза частотных фильтров, представляющих собой линейные стационарные четырехполюсники, образованные элементами L, С и R. Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.

13.1. Частотные характеристики четырехполюсников

Четырехполюсниками называют электрические цепи, имеющие вид «черного ящика» с двумя парами доступных зажимов. Одна пара служит входом, другая - выходом сигнала. В рабочем режиме ко входу подключен источник сигнала, а выходные зажимы нагружены на сопротивлений нагрузки

Предполагаетсн, что читатель знаком с методами анализа четырехполюсников, которые излагаются в курсе теории цепей . Материал данного параграфа освещает лквдь отдельные моменты, существенные для синтеза четырехполюсников.

Матричное описание.

Важнейшее свойство линейного стационарного четырехполюсника состоит в том, что четыре комплексные амплитуды при любой частоте внешнего воздействия связаны двумя линейными алгебраическими уравнениями. Две произвольно выбранные комплексные амплитуды можно принять за независимые величины, а две другие должны определяться через них. Это служит основанием для матричного описания линейных четырехполюсников. Так, часто используют матрицу передачи (-матрицу), полагая независимыми переменными напряжение и ток на выходе. При этом

Коэффициенты А, В, С и D имеют разные физические размерности и могут быть определены из опытов холостого ходв и короткого замыкания. Матрицы передачи особенно удобны для описания каскадного включения четырехполюсников, поскольку результирующая матрица есть произведение матриц отдельных звеньев.

Если заданы матрица четыфехполюсника и сопротивление нагрузки, то можно вычислить так называемые функции цепи, к которым относят, например:

а) входное сопротивление

б) передаточное сопротивление

в) частотный коэффициент передачи напряжения

Функции цепи зависят в общем случае от частоты. Любая функция цепи выражается через элементы матрицы четырехполюсника и через сопротивление нагрузки. Так, деля левые и правые части уравнения (13.1) друг на друга, находим, что входное сопротивление

Аналогично, частотный коэффициент передачи напряжения

Обратим внимание на то, что функция зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка поменялись местами, то вводят частотный коэффициент передачи в обратном направлении (нагрузка слева):

Передаточная функция четырехполюсника.

В дальнейшем в качестве аргумента частотного коэффициента передачи будет использоваться не только переменная но и комплексная частота , т. е. наряду с функцией будет рассматриваться более общая характеристика - передаточная функция . Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами передаточных функций линейных стационарных систем, рассмотренных в гл. 8.

Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция

где - постоянная величина. Если цепь устойчива, то полюсы должны располагаться в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары.

Обычно вводят дополнительное условие - число полюсов функции должно превышать число нулей, т. е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не полюс, а нуль передаточной функции. Тогда импульсная характеристика цепи

оказывается ограниченной, поскольку при бесконечно большом радиусе контура интегрирования С экспоненциальный сомножитель подынтегральной функции сможет «погасить» интеграл по дуге.

Расположение нулей передаточной функции.

В отличие от полюсов нули функции устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной . Действительно, если то это лишь означает, что при некотором изображение выходного напряжения обращается в нуль. Это не противоречит свойствам устойчивых систем.

Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимальнофазовыми цепями.

Данная терминология связана со следующими обстоятельствами. Рассмотрим плоскость комплексной частоты, на которой обозначены некоторые точки в левой и правой полуплоскостях. Пусть эти точки являются нулями передаточной функции четьфехполюсника. Если цепь находится под гармоническим внешним воздействием, так что то данным точкам соответствуют два вектора на комплексной плоскости: которые отвечают соответствующим сомножителям в числителе формулы (13.5). Оба вектора поворачиваются и изменяют свою длину при изменении частоты Разница между ними состоит в том, что вектор с изменением частоты от до увеличивает фазовый угол частотного коэффициента передачи на радиан, в то время как вектор при тех же условиях уменьшает фазу на ту же величину. Коэффициент передачи четырехполюсника является дробнорациональной функцией, изменение аргумента которой

Поэтому при одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютному значению изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью.

Расположение нулей функции связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми цепями будут любые четырехполюсники лестничной структуры.

Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более каналам. Простейшая неминимально-фазовая цепь - симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами . Здесь, как нетрудно убедиться, передаточная функция по напряжению

Данная функция имеет единственный нуль который находится в правой полуплоскости.

Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. В каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей передаточной функции в правой полуплоскости.

Связь меаду АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюсника.

Передаточная функция любого устойчивого четьфехполюсника в правой полуплоскости переменной является аналитической функцией. Если к тому же этот четырехполюсник принадлежит к числу цепей минимальнофазового типа, то его передаточная функция в правой полуплоскости не имеет и нулей. Это значит, что аналитической оказывается функция

В соответствии с материалом гл. 5 граничные значения вещественной и мнимой частей функции на мнимой оси, т. е. при связаны между собой парой преобразований Гильберта:

Таким образом, реализуя заданную АЧХ четырехполюсника минимально-фазового типа, невозможно получить при этом любую ФЧХ.

Основываясь на свойствах преобразований Гильберта, можно утверждать, например, что если АЧХ минимально-фазового четырехполюсника на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль.

Если же четырехполюсник принадлежит к классу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых цепей особо важную роль играют так называемые всепропускающие четырехполюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой -четырехполюсник, для которого в соответствии с равенством (13.6)

Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции сигналов. Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства.

Подобные документы

    Предназначение полосовых резонансных частотных фильтров. Элементы последовательного и параллельного колебательного контура. Анализ частотных свойств различных цепей с помощью амплитудно-частотных характеристик. Пример расчета полосового LC-фильтра.

    курсовая работа, добавлен 21.11.2013

    Расчет и обоснование частоты заданного генератора. Построение графиков исследуемых характеристик. Определение аналитических выражений для коэффициента передачи. Вычисление ослабления сигнала при изменении частоты в два раза в заданной полосе задержания.

    лабораторная работа, добавлен 20.12.2015

    Характеристика этапов разработки рекурсивных фильтров. Специфика режекторного фильтра произвольной частоты, деформация частотной шкалы. Типы рекурсивных частотных фильтров, особенности метода размещения нулей и полюсов. Описание селекторных фильтров.

    статья, добавлен 15.11.2018

    Определение предназначения линейных четырехполюсников, обладающих избирательными свойствами. Расчет полосового LC-фильтра. Определение амплитудного спектра радиоимпульсов. Формирование требований к полосовому фильтру. Расчет полюсов ARC-фильтра.

    курсовая работа, добавлен 01.10.2017

    Синтез адаптивного фильтра-наблюдателя главных гармоник выходных сигналов (напряжений и токов) преобразователя частоты (ПЧ) с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), в котором отсутствует дифференцирование сигналов. Улучшение фильтрующих свойств фильтра.

    статья, добавлен 29.09.2018

    Определение среднего номинального выпрямленного тока, сопротивления нагрузки, коэффициента сглаживания фильтра. Расчет токов короткого замыкания. Разработка электрической принципиальной схемы преобразователя. Расчет и выбор элементов фильтра и диодов.

    курсовая работа, добавлен 24.01.2013

    Характеристика основных видов аналоговых фильтров. Изучение задач синтеза частотно-избирательных цепей. Выбор минимального порядка фильтра. Моделирование с использованием программного комплекса Micro-Cap. Анализ основ выбора операционного усилителя.

    курсовая работа, добавлен 21.01.2015

    Построение графика временной зависимости выходного напряжения как реакции на входной скачок напряжения. Проведение компенсации ослабления высоких частот с помощью фильтра верхних частот. Выбор схемы и расчет элементов резистивных цепей усилителя.

    курсовая работа, добавлен 26.01.2015

    Расчёт выпрямителя, элементов фильтра и трансформатора. Выбор типа магнитопровода и проверка его на соответствие величин холостого хода. Определение значений сечений проводов обмотки, сопротивление каждой обмотки в нагретом состоянии, потерь напряжения.

    контрольная работа, добавлен 26.03.2014

    Теоретические основы процесса фильтрования. Современная классификация фильтров периодического действия. Принцип работы барабанного вакуума. Расчет требуемой поверхности зоны фильтрования, подбор по каталогам стандартного фильтра и определение их числа.

Министерство образования и науки РФ

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»
Р.Г. Гареева
синтез линейных частотных фильтров


Бийск

Издательство Алтайского государственного технического

университета им. И.И. Ползунова

УДК 621.372.54(076.5)

Рецензент: Александрович В.М., к.ф.-м.н.,

Доцент каф. ИУС БТИ АлтГТУ

Гареева, Р.Г.

С
Г 20
интез линейных частотных фильтров: методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2011. – 21 с.

Методические рекомендации содержат краткое изложение теоретических сведений об электрических фильтрах, их типах и основных характеристиках. Подробно рассмотрена задача синтеза непрерывных фильтров типа Баттерворта низких частот, а на их основе – полосовых фильтров и фильтров верхних частот.

УДК 621.372.54(076.5)

Рассмотрены и одобрены

На заседании кафедры МСИА.

Протокол № 10 от 30.12.2010 г.

© Гареева Р.Г., 2011

БТИ АлтГТУ, 2011


1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………….….
4

1.1 Электрические фильтры…………………………….…………
4

1.2 Типы электрических фильтров………………..………..…….
4

1.3 Свойства физически реализуемых фильтров…………..……
6

1.4 Мощностные характеристики фильтров…………………….
8

1.5 Этапы синтеза электрических фильтров……………………..
9

1.6 Синтез непрерывных фильтров низких частот……..…..……
9

1.7 Синтез фильтров верхних частот…………………………..…
16

1.8 Синтез полосовых фильтров………………………………..…
17

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………

18

2.1 Варианты задания.………………….………………………….
18

2.2 Цель и задачи лабораторной работы.…...……………………
18

2.3 Защита лабораторной работы…………………………………
19

ЛИТЕРАТУРА………………….……………………………….……
20

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Электрические фильтры

Фильтрация или фильтрование является широко распространенным и применяемым технологическим процессом.

Электрическими фильтрами называют устройства, включаемые в электрическую цепь и предназначенные для пропускания токов или напряжений определенных частот и ослабления токов или напряжений других частот. Электрические фильтры создаются из катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов.

Теорию фильтров принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, – анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних харак­теристик электрической системы, структура которой задана зара­нее, например, в виде принципиальной схемы. Задача синте­за диаметрально противоположна – внешняя характе­ристика, такая как частотный коэффициент передачи напря­жения, входное или выходное сопротивление и т.д., счита­ется известной. Требуется найти структуру цепи, реализую­щую эту характеристику.

В отличие от анализа синтез цепи, как правило, явля­ется неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номи­налов входящих в нее элементов.

Рассмотрим простейшую задачу син­теза частотных фильтров, представляющих собой линейные четырехполюсники, образованные элементами L , С и R . Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.

1.2 Типы электрических фильтров

Различают следующие типы фильтров:

1) Фильтры низких частот (ФНЧ) . Основное назначение таких устройств – с минимальным ослаблением передавать на выход сигналы, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту, называемую частотой среза фильтра . Сигналы с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная амплитудная частотная характеристика (АЧХ) описывается формулой

И представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Фильтр низких частот

2) Фильтры верхних частот (ФВЧ) . Основное назначение ФВЧ – максимальное ослабление сигналов, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту среза , и минимальное ослабление сигналов с частотами выше (рисунок 2).

Рисунок 2 – Фильтр верхних частот

3) Полосовые фильтры (ПФ) . Полосовые фильтры должны пропускать сигналы с частотами, находящимися в некоторой полосе вблизи частоты , называемой центральной частотой полосы пропускания , или нескольких частот
... (в этом случае фильтр называется многополосным ) (рисунок 3).

Рисунок 3 – Полосовой фильтр

4) Режекторные (заграждающие) фильтры (РФ) . Основное назначение таких фильтров состоит в подавлении сигналов, частоты которых имеют значение или расположены в узкой полосе относительно частоты (рисунок 4).

Рисунок 4 – Режекторный фильтр

1.3 С войства физически реализуемых фильтров

Рассмотрим более общую, чем частотная, характеристику системы – передаточную функцию
. В большинстве практических случаев её получают путем замены переменной
в частотной характеристике
на переменную
, где  – абсцисса сходимости.

Вводят передаточную функцию по аналогии с частотной характеристикой
по соотношению:

,

Где
– изображения по Лапласу функций
:

,
.

Для линейных систем с постоянными параметрами передаточная функция имеет вид:

, (1)

Где
– постоянная величина;

– корни полинома числителя (нули передаточной функции);

– корни полинома знаменателя (полюсы передаточной функции).

Для устойчивости электрического фильтра необходимо, чтобы полюсы его передаточной функции обладали отрицательной действительной частью, то есть чтобы они располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости, образуя комплексно-сопряженные пары (рисунок 5).

Рисунок 5 – Расположение полюсов устойчивой системы

Обычно вводят ещё дополнительное условие – число нулей передаточной функции G (p ) не должно превышать число полюсов (степень полинома числителя функции должна быть меньше степени полинома знаменателя m n).

В отличие от полюсов нули функции G (p ) устойчивой линейной системы могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной p . Системы, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называются минимально-фазовыми .

Расположение нулей функции G (p ) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей доказывается, что минимально-фазо-вым будет любой четырехполюсник, для которого передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. Для электрических фильтров необходимо, чтобы система была минимально-фазовой.

Для физической реализуемости электрического фильтра необходимо выполнение критерия Пэли–Винера: частотная характеристика должна быть такой, чтобы существовал интеграл

(2)

Рассмотренные ранее частотные характеристики идеальных фильтров (рисунки 1–4) заведомо нереализуемы, поскольку обращение в нуль функции H () делает невозможным существование интеграла (2).

Идеальные характеристики необходимо аппроксимировать такими аналитическими зависимостями H (), которые бы стремились к нулю, но его не достигали.

1.4 Мощностные характеристики фильтров

При расчете степени пропускания или непропускания фильтром сигнала определенной частоты удобно пользоваться мощностными или энергетическими характеристиками.

Коэффициентом передачи мощности принято называть квадрат модуля частотной характеристики:

В отличие от комплексной частотной характеристики функция
вещественна, что гораздо удобнее для задания исходных данных при синтезе фильтра. Согласно формуле (3) коэффициент передачи мощности является четной функцией частоты.

Если в функции вместо переменной  подставить переменную p , то получают передаточную функцию мощности :

. (4)

Формула (4) устанавливает следующий факт: если точка
является особой точкой (нулем или полюсом) функции G (p ), то функция K p (p ) будет иметь такую же особую точку как при
так и при

Иными словами, особые точки передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию , то есть располагаются на комп-лексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат (рисунок 6). Это свойство дает возможность восстанавливать передаточную функцию G (p ) по известной функции K p (p ).

Рисунок 6 – Полюсы, находящиеся в квадрантной симметрии

1.5 Этапы синтеза электрических фильтров

Синтез частотных фильтров обычно начинают с выбора некоторой идеализированной функции, которая описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности K p ().

Поскольку идеализированная частотная характеристика, как правило, физически нереализуема, то второй этап синтеза состоит в её аппроксимации такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой системе.

По виду передаточной функции проводят реализацию цепи, то есть получают принципиальную схему фильтра, включая номиналы входящих элементов.

1.6 Синтез непрерывных фильтров низких частот

Исторически реализация фильтров началась с непрерывных фильтров, для которых уже были созданы типовые устройства, составлены справочники и т.д. Непрерывные фильтры служат прототипами для дискретных фильтров.

Начнем с рассмотрения физически реализуемых характеристик фильтров низких частот, поскольку, используя ФНЧ, можно получить фильтры и других типов.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности описывается формулой

(имеются в виду физические частоты >0) и представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 – Коэффициент передачи мощности для ФНЧ

Такая характеристика нереализуема для физических систем, поскольку противоречит критерию Пэли–Винера (2).

Задача подбора допустимой аппроксимирующей функции неоднозначна. Аппроксимировать крутой срез можно многочисленными функциями, однако каждый раз придется сталкиваться с противоречиями: либо ослаблять сигнал в полосе пропускания
, либо слабо подавлять его вне полосы пропускания
, либо то и другое вместе.

1.6.1 Фильтры Баттерворта

Один из способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ состоит в использовании коэффициента передачи мощности следующего вида:

, (5)

Где
– безразмерная нормированная частота ;

n – целое число, называемое порядком фильтра .

В общем случае коэффициент передачи мощности (5) может содержать произвольный масштабный множитель.

Фильтр низких частот, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта (по имени ученого, предложившего аппроксимирующую функцию (5)). При любом n такой тип фильтра реализуем.

В полосе пропускания фильтра Баттерворта, то есть при , коэффициент передачи мощности плавно уменьшается с ростом частоты. Особо следует отметить гладкость (отсутствие пульсаций) рассматриваемой функции.

На частоте среза, независимо от порядка системы,
. Чем выше порядок n , тем точнее описывается идеальная низкочастотная характеристика (рисунок 8).

Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами
. Для оценки степени ослабления сигнала используют величину

Выражаемую в децибелах.

Рисунок 8 – Коэффициент передач мощности фильтров Баттерворта при n = 1 и n = 5

При
, т.е. на частоте входного сигнала, ослабление, вносимое фильтром, составляет
.

Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра (
), то из формулы (5) следует, что
, а ослабление составляет

1.6.2 Передаточная функция фильтра Баттерворта

Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в форме (5), перейти к передаточной функции G (p ). Для этого введем нормированную комплексную частоту
и запишем передаточную функцию мощности в виде:

, (7)

Откуда ясно, что на плоскости функция
не имеет нулей и имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения

, (8)

Используя полярную форму записи, запишем корень в виде:

Все корни уравнения (8) лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, поэтому
. Следовательно,

Окончательно получим

Рассмотрим отдельно четные и нечетные порядки фильтров.

1) n – четное число.

В этом случае

Откуда
.

Например, для
получим четыре корня, соответствующие углам:

.

Для
получим восемь корней, соответствующих углам:

Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных примеров показано на рисунке 9.

Рисунок 9 – Полюсы коэффициента передачи мощности

Фильтра Баттерворта при n = 2 и n = 4

2) n – нечетное число.

В этом случае

Откуда
.

Например, для
получим два корня, соответствующие углам:

Для
получим шесть корней, соответствующих углам:

Расположение корней для приведенных примеров показано на рисунке 10.

Рисунок 10 – Полюсы коэффициента передачи мощности

фильтра Баттерворта при n = 1 и n = 3

Общая закономерность при любом n такова: все полюсы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, равном . Для фильтров с нечетными номерами существуют два корня, расположенные на действительной оси; для фильтров с четными номерами действительные корни отсутствуют.

Чтобы перейти к передаточной функции фильтра Баттерворта, разложим знаменатель функции
на сомножители:

Теперь воспользуемся тем, что полюсы передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию, то есть их число и конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру. Их «зеркальные копии» в правой полуплоскости относятся к функции
и во внимание не принимаются.Таким образом, передаточная функция фильтра Баттерворта примет вид (нумерация корней в левой полуплоскости ведется с 1 до n ):

Фильтр Баттерворта 1-го порядка.

Имеем:
;

Выбираем устойчивый корень: .

Передаточная функция запишется в виде:

.

Учитывая, что
, окончательно получим:

. (11)

Таким образом, в процессе аппроксимации идеальной характеристики низкочастотного фильтра с заданной частотой среза с использованием аппроксимации Баттерворта 1-го порядка получен полюс
.

Фильтр Баттерворта 2-го порядка.

Имеем:
.

Согласно (9)

Выберем устойчивые корни и пронумеруем их:

Для звеньев 2-го порядка корни всегда будут комплексно-сопря-женными.

Передаточная функция звена примет вид:

.

Осуществим переход

(12)

Общее выражение для передаточной функции звеньев 2-го порядка имеет вид:

, (13)

Где – собственная частота колебаний системы;

z – коэффициент затухания системы (при
звено называют колебательным , при
– апериодическим ).

Из сравнения функций (12) и (13) следует, что фильтр Баттерворта 2-го порядка представляет собой колебательное звено с коэффициентом затухания
и собственной частотой колебаний, равной частоте среза фильтра
.

Фильтр Баттерворта 3-го порядка.

Имеем:
и

Выберем устойчивые корни и пронумеруем их.

Первый корень соответствует звену 1-го порядка с передаточной функцией
.

.

Таким образом, фильтры Баттерворта нечетных порядков представляют собой последовательное соединение звена 1-го порядка и нескольких звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания. Фильтры четного порядка строятся путем последовательного соединения звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания.

1.7 Синтез фильтра верхних частот

Фильтр верхних частот предназначен для того, чтобы с малым ослаблением пропускать колебания, частоты которых превышают частоту среза . Если известна реализация ФНЧ, схема ФВЧ с такой же частотой среза может быть получена достаточно просто. Для этого используется прием, известный в теории цепей как преобразование частоты .

Перейдем от переменной р , использованной для описания ФНЧ, к новой частотной переменной , такой, что Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез полосового фильтра Баттерворта, центральная частота полосы пропускания которого в 2 раза выше частоты среза ФНЧ.

Вариант 2.

1. Осуществить синтез фильтра Баттерворта низких частот, который бы при частоте среза, равной Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез фильтра Баттерворта верхних частот, частота среза которого равна частоте среза ФНЧ.

2.2 Цель и задачи лабораторной работы

Целью лабораторной работы является синтез фильтров Баттерворта различного типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ), обеспечивающих заданное ослабление сигнала.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач :


  1. расчет по соотношениям (5), (6) наименьшего порядка фильтра Баттерворта низких частот, обеспечивающего заданное ослабление сигнала;

  2. определение по выражениям (9) или (10) углов, соответствующих полюсам передаточной функции мощности;

  3. формирование из устойчивых полюсов звеньев, образующих фильтр (определение их количества и порядка);

  4. вывод выражений для передаточных функций отдельных звеньев 1-го или 2-го порядков по аналогии с выражениями (11), (12); для звеньев 2-го порядка расчет коэффициентов затухания согласно выражению (15);

  5. расчет АЧХ отдельных звеньев и фильтра в целом, построение их графиков;

  6. расчет передаточной функции ФВЧ или ПФ с применением подстановки (16) или (17) в передаточной функции каждого из звеньев, образующих ФНЧ;

  7. расчет и построение графика АЧХ ФВЧ или ПФ, сравнение с аналогичной характеристикой ФНЧ.

2.3 Защита лабораторной работы

Защита лабораторной работы осуществляется в течение семестра согласно расписанию занятий. Она проводится в виде индивидуального собеседования при наличии у студента программной части, содержащей решение поставленной задачи, и отчета, который должен включать тему и цель лабораторной работы, теоретическую и практическую части, а также заключение или выводы.
ЛИТЕРАТУРА


  1. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.

  2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с.

  3. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002. – 604 с.
Учебное издание

Гареева Рената Гегелевна

синтез линейных частотных фильтров

по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов»

Редактор Соловьева С.В.

Подписано в печать 15.02.2011. Формат 6084 1/16

Усл. п. л.  1,2. Уч.-изд. л.  1,3

Печать  ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO EZ300»

Тираж 65 экз. Заказ 201143

Издательство Алтайского государственного

Технического университета

656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

59305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27

Электрические фильтры – это четырёхполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением ∆A пропускают колебания в определённых диапазонах частот f 0 …f 1 (полосах пропускания) и практически не пропускают колебания в других диапазонах f 2 …f 3 (полосах задерживания, или непропускания).

Рис. 2.1.1. Фильтр нижних частот (ФНЧ). Рис. 2.1.2. Фильтр верхних частот (ФВЧ).

Существует множество различных типов реализации электрических фильтров: пассивные LC-фильтры (схемы содержат индуктивные и емкостные элементы), пассивные RC-фильтры (схемы содержат резистивные и емкостные элементы), активные фильтры (схемы содержат операционные усилители, резистивные и емкостные элементы), волноводные, цифровые фильтры и другие. Среди всех типов фильтров особое положение занимают LC-фильтры, так как широко применяются в телекоммуникационном оборудовании в различных частотных диапазонах. Для фильтров этого типа существует хорошо разработанная методика синтеза, а синтез фильтров других типов во многом использует эту

методику. Поэтому в курсовой работе основное внимание уделяется синтезу

Рис. 2.1.3. Полосовой фильтр (ПФ). пассивных LC-фильтров.

Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы фильтра с минимально возможным числом элементов, частотная характеристика которой удовлетворяла бы заданным техническим требованиям. Часто требования предъявляются к характеристике рабочего ослабления . На рисунках 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 требования к рабочему ослаблению заданы уровнями максимально допустимого ослабления в полосe пропускания А и уровнями минимально допустимого ослабления в полосе непропускания As. Задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации требований к рабочему ослаблению физически реализуемой функцией и задачу реализации найденной аппроксимирующей функции электрической цепью.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении такой функции минимально возможного порядка, которая, во-первых, удовлетворяет заданным техническим требованиям к частотной характеристике фильтра, и, во-вторых, удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Решение задачи реализации заключается в определении электрической цепи, частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.

2.1. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ.

Рассмотрим некоторые соотношения, характеризующие условия передачи энергии через электрический фильтр. Как правило, электрический фильтр используется в условиях, когда со стороны его входных зажимов подключаются устройства, которые на эквивалентной схеме могут быть представлены в виде активного двухполюсника с параметрами E(jω), R1, а со стороны выходных зажимов подключаются устройства, представляемые на эквивалентной схеме резистивным сопротивлением R2. Схема включения электрического фильтра представлена на рисунке 2.2.1.


На рисунке 2.2.2 представлена схема, на которой вместо фильтра и сопротивления R2 к эквивалентному генератору (с параметрами E(jω), R1) подключается нагрузочное сопротивление, величина которого равна сопротивлению генератора R1. Как известно, генератор отдаёт максимальную мощность в резистивную нагрузку, если сопротивление нагрузки будет равно сопротивлению внутренних потерь генератора R1.

Прохождение сигнала через четырёхполюсник характеризуется рабочей передаточной функцией T(jω). Рабочая передаточная функция позволяет сравнить мощность S 0 (jω), отдаваемую генератором в нагрузку R1 (согласованную с его собственными параметрами), с мощностью S 2 (jω), поступающую в нагрузку R2 после прохождения через фильтр:

Аргумент рабочей передаточной функции arg{T(jω)} характеризует фазовые соотношения между э.д.с. E(jω) и выходным напряжением U 2 (jω). Он называется рабочей фазовой постоянной передачи (обозначается греческой буквой «бета»):

При передаче энергии через четырёхполюсник изменения мощности, напряжения и тока по абсолютной величине характеризуются модулем рабочей передаточной функции . При оценке избирательных свойств электрических фильтров используется мера, определяемая логарифмической функцией. Эта мера – рабочее ослабление (обозначается греческой буквой «альфа»), которая связана с модулем рабочей передаточной функцией соотношениями:

, (Нп); или (2.2)

, (дБ). (2.3)

В случае использования формулы (2.2), рабочее ослабление выражается в неперах, а при использовании формулы (2.3) – в децибелах.

Величина называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника (обозначается греческой буквой «гамма»). Рабочая передаточная функция может быть представлена с использованием рабочего ослабления и рабочей фазы в виде:

В случае, когда сопротивление внутренних потерь генератора R1 и сопротивление нагрузки R2 являются резистивными, мощности S 0 (jω) и S 2 (jω) являются активными. Прохождение мощности через фильтр удобно характеризовать с помощью коэффициента передачи мощности, определяемого как отношение максимальной мощности P max , получаемой от генератора согласованной с ним нагрузкой, к мощности P 2 , поступающей в нагрузку R2:

Реактивный четырёхполюсник не потребляет активной мощности. Тогда активная мощность P 1 , отдаваемая генератором, равна мощности P 2 , потребляемой нагрузкой:

Значение модуля входного тока выразим: , и подставим в (2.5).

С помощью алгебраических преобразований представим (2.5) в виде:

Представим числитель правой части уравнения в виде:

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой величину, обратную коэффициенту передачи мощности:

Следующее выражение представляет собой коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

Коэффициент отражения (напряжения или тока) от входных зажимов четырёхполюсника, равный

характеризует согласование входного сопротивления фильтра с сопротивлением R1.

Пассивный четырёхполюсник не может давать усиление по мощности, то есть .

Поэтому для таких цепей целесообразно пользоваться вспомогательной функцией , определяемой выражением:

Представим рабочее ослабление в иной, более удобной для решения задачи синтеза фильтров, форме:

Очевидно, характер частотной зависимости рабочего ослабления связан с частотной зависимостью функции , называемой функцией фильтрации: нули и полюсы функции фильтрации совпадают с нулями и полюсами ослабления.

На основании формул (2.7) и (2.9) можно представить коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:

Перейдём к записи операторных изображений по Лапласу, учитывая, что p = jω, а также что квадрат модуля комплексной величины выражается, например . Выражение (2.10) в операторной форме имеет вид

Операторные выражения , , являются рациональными функциями комплексной переменной «p», и поэтому их можно записать в виде

где , , - являются полиномами, например:

Из формулы (2.11), учитывая (2.12), можно получить соотношение между полиномами:

На этапе решения задачи аппроксимации определяется выражение функции фильтрации, то есть определяются полиномы h(p), w(p); из уравнения (2.13) можно найти полином v(p).

Если выражение (2.8) представить в операторной форме , то можно получить функцию входного сопротивления фильтра в операторной форме:

Условия физической реализуемости заключаются в следующем:

1. v(p) – должен быть полиномом Гурвица, то есть его корни располагаются в левой половине плоскости комплексной переменной p=α+j·Ω (требование устойчивости цепи);

2. w(p) – должен быть или чётным, или нечётным полиномом (для ФНЧ w(p) – чётный, чтобы не было полюса ослабления при ω=0; для ФВЧ w(p) – нечётный);

3. h(p) – любой полином с вещественными коэффициентами.

2.2. НОРМИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ И ЧАСТОТЕ.

Численные значения параметров элементов L, C, R и граничных частот реальных фильтров могут принимать, в зависимости от технических условий, самые различные значения. Использование в вычислениях одновременно малых и больших величин приводит к значительной погрешности вычислений.

Известно, что характер частотных зависимостей фильтра не зависит от абсолютных величин коэффициентов функций, описывающих эти зависимости, а определяется лишь их соотношениями. Значения коэффициентов определяются значениями параметров L, C, R фильтров. Поэтому нормирование (изменение в одинаковое число раз) коэффициентов функций ведёт к нормированию величин параметров элементов фильтра. Таким образом, вместо абсолютных значений сопротивлений элементов фильтра берут их относительные величины, отнесённые к сопротивлению нагрузки R2 (или R1).

Кроме того, если нормировать значения частот относительно граничной частоты полосы пропускания (чаще всего используется именно это значение), то это ещё более сузит разброс величин, используемых в вычислениях, и повысит точность вычислений. Нормированные значения частот записываются в виде и являются безразмерными величинами, а нормированное значение граничной частоты полосы пропускания .

Для примера рассмотрим сопротивление последовательно соединённых элементов L, C, R:

Нормированное сопротивление: .

Введём в последнее выражение нормированные значения частот: где нормированные параметры равны: .

Истинные (денормированные) значения параметров элементов определяются:

Изменяя значения f 1 и R2, можно из исходной схемы получать новые схемы устройств, работающих в других диапазонах частот и при других нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к работе с таблицами.

2.3. ПОСТРОЕНИЕ ДУАЛЬНЫХ СХЕМ.

Дуальными величинами, как известно, являются сопротивление и проводимость. Для каждой схемы электрического фильтра может быть найдена дуальная ей схема. При этом входное сопротивление первой схемы будет равно входной проводимости второй, умноженной на коэффициент . Важно отметить, что рабочая передаточная функция Т(р) для обеих схем будет одинаковой. Пример построения дуальной схемы показан на рисунке 2.3.

Такие преобразования часто оказываются удобными, так как позволяют уменьшить число индуктивных элементов. Как известно, катушки индуктивности, по сравнению с конденсаторами, являются громоздкими и низкодобротными элементами.

Нормированные параметры элементов дуальной схемы определяются (при =1):

2.4. АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

На рисунках 2.1.1 – 2.1.3 представлены графики функций рабочего ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ). На этих же графиках показаны уровни требуемого ослабления. В полосе пропускания f 0 …f 1 задаётся максимально допустимое значение ослабления (так называемая неравномерность ослабления) ΔА; в полосе непропускания f 2 …f 3 задаётся минимально допустимое значение ослабления A S ; в переходной области частот f 1 …f 2 требования к ослаблению не предъявляются.

Прежде чем приступить к решению задачи аппроксимации производят нормирование требуемой характеристики рабочего ослабления по частоте, например для ФНЧ и ФВЧ:

Искомая аппроксимирующая функция должна удовлетворять условиям физической реализуемости и достаточно точно воспроизводить требуемую частотную зависимость рабочего ослабления. Существуют различные критерии оценки погрешности приближения, на которых основаны различные типы аппроксимации. В задачах аппроксимации амплитудно-частотных характеристик наиболее часто используют критерии оптимальности Тейлора и Чебышёва.

2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.

В случае применения критерия Тейлора искомая аппроксимирующая функция имеет следующий вид (нормированное значение):

где - квадрат модуля функции фильтрации;

– порядок полинома (принимает целочисленное значение);

ε – коэффициент неравномерности. Его величина связана с величиной ∆А - неравномерностью ослабления в полосе пропускания (рис. 2.4). Поскольку на граничной частоте полосы пропускания Ω 1 =1, , следовательно

Фильтры с частотными зависимостями ослабления (2.16) называются фильтрами с максимально плоскими характеристиками ослабления , или фильтрами с характеристиками Баттерворта , впервые применившего аппроксимацию по критерию Тейлора при решении задачи синтеза фильтров.

Порядок аппроксимирующей функции определяется на основании условия, что на граничной частоте полосы непропускания Ω 2 рабочее ослабление превышает минимально допустимое значение:

Откуда . (2.19)

Поскольку порядок полинома должен быть целым числом, получившееся значение

Рис.2.4. округляется до ближайшего большего

целого значения.

Выражение (2.18) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :

Найдём корни полинома : , откуда

K = 1, 2, … , NБ (2.20)

Корни принимают комплексно-сопряжённые значения и располагаются на окружности радиуса . Для формирования полинома Гурвица надо использовать только те корни, которые располагаются в левой половине комплексной плоскости:

На рисунке 2.5 показан пример размещения в комплексной плоскости корней полинома 9-го порядка, имеющих отрицательную реальную составляющую. Квадрат модуля

Рис. 2.5. функции фильтрации, согласно (2.16), равен:

Полином с вещественными коэффициентами; - полином чётного порядка. Таким образом, условия физической реализуемости выполняются.

2.4.2. Аппроксимация по критерию Чебышёва.

При использовании для аппроксимации по Тейлору степенных полиномов Ω 2· N Б получается хорошее приближение к идеальной функции вблизи точки Ω=0, но для того чтобы обеспечить достаточную крутизну аппроксимирующей функции при Ω>1 приходится увеличивать порядок полинома (а, следовательно, и порядок схемы).

Лучшую крутизну в переходной области частот можно получить, если в качестве аппроксимирующей выбрать не монотонную функцию (рис. 2.4), а функцию колеблющуюся в диапазоне значений 0 … ΔА в полосе пропускания при 0<Ω<1 (рис. 2.7).

Наилучшая аппроксимация по критерию Чебышёва обеспечивается применением полиномов Чебышёва P N (x) (рис. 2.6). В интервале -1 < x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

В интервале -1 < x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos(N·arccos(x)), (2.21)

при N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,

при N=2 P 2 (x) = cos(2·arccos(x)) = 2· cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2·x 2 – 1,

при N≥3 полином P N (x) можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой

P N +1 (x) = 2·х·P N (x) - P N -1 (x).

При x > 1 значения полиномов Чебышёва монотонно возрастают и описывается выражением

P N (x) = ch(N·Arch(x)). (2.22)

Функция рабочего ослабления (рис. 2.7) описывается выражением

где ε – коэффициент неравномерности, определяемый по формуле (2.17);

Квадрат модуля функции фильтрации;

P N (Ω) – полином Чебышёва порядка N.

Рабочее ослабление в полосе непропускания должно превышать значение A S:

Подставив в это неравенство выражение (2.22) для значений частот полосы непропускания, решим его относительно величины N = NЧ - порядка полинома Чебышёва:

Порядок полинома должен быть целым числом, поэтому получившееся значение необходимо округлить до ближайшего большего целого значения.

Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)

Поскольку нули ослабления (они же – корни полинома Гурвица) располагаются в полосе пропускания, в это выражение надо подставить выражение (2.21) для значений частот полосы пропускания.

Выражение (2.25) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :

Корни полинома определяются по формуле:

K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)

Комплексно-сопряжённые корни в комплексной плоскости располагаются на эллипсе. Полином Гурвица образуют только корни с отрицательной реальной составляющей:

Квадрат модуля функции фильтрации ; поэтому полином находим с применением рекуррентной формулы:

Является полиномом с вещественными коэффициентами; является полиномом чётной степени. Условия физической реализуемости выполняются.

2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПЬЮ.

Один из методов решения задачи реализации основан на разложении в цепную дробь функции входного сопротивления

Процедура разложения описана в литературе: , . Кратко пояснить разложение в цепную дробь можно следующим образом.

Функция представляет собой отношение полиномов. Сначала выполняется деление полинома числителя на полином знаменателя; затем полином, который был делителем, становится делимым, а полученный остаток становится делителем, и так далее. Полученные при делении частные образуют цепную дробь. Для схемы на рисунке 2.8 цепная дробь имеет вид (при =1):

Если необходимо, можно от полученной

схемы перейти к дуальной.

2.6. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Метод преобразования частотной переменной используется для синтеза ФВЧ и ПФ. Преобразование применяется только к нормированным частотам Ω.

2.6.1. Синтез ФВЧ . Сравнивая характеристики ФНЧ и ФВЧ на рисунках 2.9 и 2.10, можно заметить, что они взаимно обратные. Это означает, что если выполнить замену частотной переменной

в выражении характеристики ФНЧ, то получится характеристика ФВЧ. Например, для фильтра с характеристикой Баттерворта

Использование этого преобразования эквивалентно замене емкостных элементов на индуктивные и наоборот:

То есть

То есть .

Чтобы синтезировать ФВЧ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

Рис. 2.9. ФНЧ с нормированной Рис. 2.10. ФВЧ с нормированной

характеристикой. характеристикой.

1. Выполнить нормирование частотной переменной .

2. Применить формулу (2.27) для преобразования частотной переменной

Пересчитанные требования к характеристике рабочего ослабления представляют собой требования к рабочему ослаблению так называемого ФНЧ-прототипа.

3. Синтезировать ФНЧ-прототип.

4. Применить формулу (2.27) для перехода от ФНЧ-прототипа к требуемому ФВЧ.

5. Выполнить денормирование параметров элементов синтезированного ФВЧ.

2.6.2. Синтез ПФ . На рисунке 2.1.3. изображена симметричная характеристика рабочего ослабления полосового фильтра. Так называется характеристика, геометрически симметричная относительно средней частоты .

Чтобы синтезировать ПФ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.

1. Для перехода от требуемой симметричной характеристики ПФ к нормированной характеристике ФНЧ-прототипа (и воспользоваться уже известной методикой синтеза), необходима замена частотной переменной (рисунок 2.11)

2.7. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ.

Активные фильтры характеризуются отсутствием катушек индуктивности, так как свойства индуктивных элементов можно воспроизвести с помощью активных схем, содержащих активные элементы (операционные усилители), резисторы и конденсаторы. Такие схемы обозначаются: ARC-схемы. Недостатками катушек индуктивности являются низкая добротность (большие потери), большие габариты, высокая стоимость производства.

2.7.1. Основы теории ARC-фильтров . Для линейного четырёхполюсника (в том числе – линейного ARC-фильтра) соотношение между входным и выходным напряжением (в операторной форме) выражается передаточной функцией по напряжению:

где w(p) – чётный (К·р 0 для ФНЧ) или нечётный (для ФВЧ) полином,

v(p) – полином Гурвица порядка N.

Для ФНЧ передаточную функцию (нормированную величину) можно представить в виде произведения сомножителей

где К = Н U (0) = К2­ 1 ·К2 2 · … ·К2 (N /2) – значение функции H U (p) (для фильтра чётного порядка) при передаче постоянного напряжения (то есть при f=0 или, в операторной форме, при р=0);

сомножители в знаменателе образованы произведением комплексно-сопряжённых корней

в случае фильтра нечётного порядка имеется один сомножитель, образованный с использованием корня полинома Гурвица с реальным значением .

Каждый сомножитель передаточной функции может быть реализован активным фильтром (ARC) нижних частот второго или первого порядка. А вся заданная передаточная функция H U (p) – каскадным соединением таких четырёхполюсников (рисунок 2.13).

Активный четырёхполюсник на базе операционного усилителя обладает очень полезным свойством - его входное сопротивление гораздо больше, чем его выходное сопротивление. Подключение к четырёхполюснику в качестве нагрузки сопротивления очень большой величины (такой режим работы близок к режиму холостого хода) не оказывает влияния на характеристики самого четырёхполюсника.

Н U (р) = Н1 U (p) · H2 U (p) · … · Hk U (p)

Например, активный фильтр нижних частот 5-го порядка может быть реализован схемой, представляющей собой каскадное соединение двух четырёхполюсников второго порядка и одного четырёхполюсника первого порядка (рис. 2.14), а ФНЧ 4-го порядка – состоит из каскадного соединения двух четырёхполюсников второго порядка. Четырёхполюсники с большей величиной добротности подключаются первыми в тракт передачи сигнала; четырёхполюсник первого порядка (с наименьшей добротностью и наименьшей крутизной частотной характеристики) подключается последним.

2.7.2. Синтез ARC фильтра производится с использованием передаточной функции по напряжению (2.29). Нормирование по частоте производится относительно частоты среза f c . При частоте среза значение передаточной функции по напряжению меньше максимального Hmax в раз, а значение ослабления равно 3 дБ

Рис. 2.14. ARC фильтр нижних частот 5-го порядка.

Нормирование частотных характеристик производится относительно f c . Если решить уравнения (2.16) и (2.23) относительно частоты среза, то получим выражения

Для ФНЧ с характеристикой Баттерворта;

С характеристикой Чебышёва.

В зависимости от типа характеристики фильтра – Баттерворта или Чебышёва, - определяется порядок аппроксимирующей функции по формулам (2.19) или (2.26).

Корни полинома Гурвица определяются по формулам (2.20) или (2.26). Передаточная функция по напряжению для четырёхполюсника второго порядка может быть образована с использованием пары комплексно-сопряжённых корней, а, кроме того, может быть выражена через параметры элементов схемы (рис. 2.14). Анализ схемы и вывод выражения (2.31) не приводится. Аналогичным образом записывается выражение (2.32) для четырёхполюсника первого порядка.

Поскольку величина сопротивления нагрузки не влияет на характеристики активного фильтра, денормирование выполняется исходя из следующего. Сначала выбираются приемлемые значения резистивных сопротивлений (10 … 30 кОм). Затем определяются реальные значения параметров ёмкости; для этого в выражении (2.15) используется f c .

Классическая теория синтеза пассивных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами предусматривает два этапа:

Отыскание или подбор подходящей рациональной функции, которая могла бы являться характеристикой физически осуществимой цепи и вместе с тем быть достаточно близкой к заданной характеристике;

Отыскание структуры и элементов цепи, реализующей выбранную функцию.

Первый этап называется аппроксимацией заданной характеристики, второй - реализацией цепи.

Аппроксимация, основанная на применении различных ортогональных функций, не вызывает принципиальных трудностей. Значительно сложнее задача отыскания оптимальной структуры цепи по заданной (физически осуществимой) ее характеристике. Эта задача не имеет однозначного решения. Одну и ту же характеристику цепи можно реализовать множеством способов, различающихся по схеме, по числу входящих в нее элементов и сложности подбора параметров этих элементов, но чувствительности характеристик цепи к нестабильности параметров и т. д.

Различают синтез цепей в частотной области и во временной. В первом случае задается передаточная функция К (iω), а во втором - импульсная характеристика g(t). Поскольку эти две функции связаны между собой парой преобразований Фурье, синтез цепи во временной области можно свести к синтезу в частотной и наоборот. Все же синтез по заданной импульсной характеристике имеет свои особенности, играющие большую роль в импульсной технике при формировании импульсов с определенными требованиями к их параметрам (крутизне фронта, выбросу, форме вершины и т. д.).

В данной главе рассматривается синтез четырехполюсников в частотной области. Следует указать, что по синтезу линейных электрических цепей в настоящее время существует обширная литература, а изучение общей теории синтеза не входит в задачу курса "Радиотехнические цепи и сигналы". Здесь рассматриваются лишь некоторые частные вопросы синтеза четырехполюсников, отображающие особенности современных радиоэлектронных цепей. К таким особенностям в первую очередь относятся:

Применение активных четырехполюсников;

Тенденция к исключению индуктивностей из избирательных цепей (в микроэлектронном исполнении);

Возникновение и быстрое развитие техники дискретных (цифровых) цепей.

Известно, что передаточная функция четырехполюсника К (iω) однозначно определяется своими нулями и полюсами на р-плоскости. Поэтому выражение "синтез по заданной передаточной функции" эквивалентно выражению "синтез по заданным нулям и полюсам передаточной функции". Существующая теория синтеза четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функция которых обладает конечным числом нулей и полюсов, иными словами, цепи, состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными параметрами. Из этого вытекает вывод о неприменимости классических методов синтеза цепей к фильтрам, согласованным с заданным сигналом. Действительно, входящий в передаточную функцию подобного фильтра множитель e iωt 0 [см. (12.16)] не реализуется конечным числом звеньев с сосредоточенными параметрами. Излагаемый в данной главе материал ориентирован на четырехполюсники с небольшим числом звеньев. Такие четырехполюсники характерны для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах.